有熱散失，平衡溫度就一定低於「剛好平分」的那個值
題目
某金屬的質量為 1 kg、比熱為 0.031 cal/(g·℃)，先將其加熱到 100 ℃，
再放入 31 g、50 ℃ 的水中，已知達成熱平衡的過程中共有 248 cal 的熱量散失，
則達成熱平衡時的溫度為多少 ℃？（假設金屬不與水發生反應，且不考慮水的汽化）
- (A) 68
- (B) 71 ← 正確答案
- (C) 75 ← 我選的
- (D) 85
我的答案：(C) 75正是「忘記扣掉散失的 248 卡」的答案
正確答案：(B) 7175 − 4 ＝ 71
錯在哪裡
關鍵錯誤：題目給的「248 cal 散失」完全沒有用到。
你算出的 75 ℃ 是 100 ℃ 與 50 ℃ 的正中間——那是完全沒有熱散失時的答案。
為什麼剛好在正中間？因為這題的數字設計得很巧： 金屬的熱容量 ＝ 1000 g × 0.031 ＝ 31 cal/℃ 水的熱容量 ＝ 31 g × 1 ＝ 31 cal/℃ 兩者完全相等！所以若沒有熱散失，平衡溫度就會是兩個溫度的平均：(100＋50) ÷ 2 ＝ 75 ℃。
但題目明說散失了 248 cal——這些熱跑到環境去了，沒有進到水裡， 所以最後的溫度必定低於 75 ℃。
出題者就是先算好 75，再把它放進選項當陷阱。
凡是題目給了一個數字，就一定要用到。算完發現「248」沒出現在算式裡，就該警覺了。
你算出的 75 ℃ 是 100 ℃ 與 50 ℃ 的正中間——那是完全沒有熱散失時的答案。
為什麼剛好在正中間？因為這題的數字設計得很巧： 金屬的熱容量 ＝ 1000 g × 0.031 ＝ 31 cal/℃ 水的熱容量 ＝ 31 g × 1 ＝ 31 cal/℃ 兩者完全相等！所以若沒有熱散失，平衡溫度就會是兩個溫度的平均：(100＋50) ÷ 2 ＝ 75 ℃。
但題目明說散失了 248 cal——這些熱跑到環境去了，沒有進到水裡， 所以最後的溫度必定低於 75 ℃。
出題者就是先算好 75，再把它放進選項當陷阱。
凡是題目給了一個數字，就一定要用到。算完發現「248」沒出現在算式裡，就該警覺了。
正確解法
Step 1 統一單位並算出兩邊的「熱容量」
金屬：1 kg ＝ 1000 g（先換單位！） C金屬 ＝ 1000 × 0.031 ＝ 31 cal/℃ C水 ＝ 31 × 1 ＝ 31 cal/℃ 熱容量 ＝ 質量 × 比熱，意思是「這個東西每升高 1 ℃ 需要多少卡」。 先算出它，後面的式子會非常好寫。
金屬：1 kg ＝ 1000 g（先換單位！） C金屬 ＝ 1000 × 0.031 ＝ 31 cal/℃ C水 ＝ 31 × 1 ＝ 31 cal/℃ 熱容量 ＝ 質量 × 比熱，意思是「這個東西每升高 1 ℃ 需要多少卡」。 先算出它，後面的式子會非常好寫。
Step 2 列出能量守恆的式子
設平衡溫度為 T： 金屬放出的熱 ＝ 水吸收的熱 ＋ 散失的熱 31 × (100 − T) ＝ 31 × (T − 50) ＋ 248
設平衡溫度為 T： 金屬放出的熱 ＝ 水吸收的熱 ＋ 散失的熱 31 × (100 − T) ＝ 31 × (T − 50) ＋ 248
Step 3 解方程式
3100 − 31T ＝ 31T − 1550 ＋ 248 3100 ＋ 1550 − 248 ＝ 62T 4402 ＝ 62T → T ＝ 71 ℃ 答案 (B)。
3100 − 31T ＝ 31T − 1550 ＋ 248 3100 ＋ 1550 − 248 ＝ 62T 4402 ＝ 62T → T ＝ 71 ℃ 答案 (B)。
Step 4 更快的做法（利用熱容量相等）
因為兩邊熱容量相同，可以這樣想：
① 若沒有散失，平衡溫度 ＝ (100 ＋ 50) ÷ 2 ＝ 75 ℃。
② 散失了 248 cal，這些熱是整個系統少掉的， 系統的總熱容量 ＝ 31 ＋ 31 ＝ 62 cal/℃，所以溫度會再往下掉： 248 ÷ 62 ＝ 4 ℃ ③ 75 − 4 ＝ 71 ℃ ✓ 這個做法只要 10 秒，而且能清楚看出 (C) 75 為什麼是陷阱。
因為兩邊熱容量相同，可以這樣想：
① 若沒有散失，平衡溫度 ＝ (100 ＋ 50) ÷ 2 ＝ 75 ℃。
② 散失了 248 cal，這些熱是整個系統少掉的， 系統的總熱容量 ＝ 31 ＋ 31 ＝ 62 cal/℃，所以溫度會再往下掉： 248 ÷ 62 ＝ 4 ℃ ③ 75 − 4 ＝ 71 ℃ ✓ 這個做法只要 10 秒，而且能清楚看出 (C) 75 為什麼是陷阱。
Step 5 驗算
金屬放出：31 × (100 − 71) ＝ 31 × 29 ＝ 899 cal
水吸收：31 × (71 − 50) ＝ 31 × 21 ＝ 651 cal
899 − 651 ＝ 248 ✓ 與題目給的散失量完全相符，確定正確。
金屬放出：31 × (100 − 71) ＝ 31 × 29 ＝ 899 cal
水吸收：31 × (71 − 50) ＝ 31 × 21 ＝ 651 cal
899 − 651 ＝ 248 ✓ 與題目給的散失量完全相符，確定正確。
四個選項的意義
| 選項 | 意義 | 判斷 |
|---|---|---|
| (A) 68 | 散失量算太多 | ✗ |
| (B) 71 | 75 − 4，有考慮散失 | ✓ |
| (C) 75 | 忘記扣散失（無散失時的答案） | ✗ 最常見的錯 |
| (D) 85 | 比 75 還高，方向就錯了 | ✗ |
要記住的觀念
- 有熱散失時的公式： 高溫物放出的熱 ＝ 低溫物吸收的熱 ＋ 散失的熱 散失一定寫在「吸收」那一邊（因為它和吸收都是「放出的熱的去處」）。
- 先算「熱容量（m × c）」再列式，會少寫很多數字。 熱容量代表「這個東西每升 1 ℃ 要多少卡」， 兩邊熱容量相等時，平衡溫度就是兩溫度的平均——這是很好用的快捷判斷。
- 有散失 → 平衡溫度必定「低於」無散失時的值。 先心算出無散失的答案，再看選項： 若那個數字剛好在選項裡，它通常就是陷阱，正確答案會比它小一點。
- 單位！1 kg ＝ 1000 g。 比熱的單位是 cal/(g·℃)，質量就必須用公克。 這是本錯題本第二次因為 kg／g 而失分（另一題是 ppm）， 請把「看到 kg 先寫 ×1000」變成反射動作。
- 檢查「題目給的每個數字都用到了嗎」。 本題的 248 就是被漏掉的那個。算完掃一遍題目，任何沒進到算式的數字都是警訊。
- 算完把答案代回去驗算。 899 − 651 ＝ 248 ✓，完全對得上就能安心。
類題自我檢測
將 200 g、90 ℃ 的熱水倒入 200 g、30 ℃ 的冷水中，若過程中散失了 800 cal 的熱量，
則平衡後的水溫為幾 ℃？（水的比熱為 1 cal/(g·℃)）
(A) 54 (B) 56 (C) 58 (D) 60
看解答
(C) 58 ℃。
快速法：兩邊熱容量都是 200 cal/℃（相等）
→ 無散失時平衡溫度 ＝ (90 ＋ 30) ÷ 2 ＝ 60 ℃。
系統總熱容量 ＝ 200 ＋ 200 ＝ 400 cal/℃，散失 800 cal 使溫度再往下掉：
800 ÷ 400 ＝ 2 ℃ → 60 − 2 ＝ 58 ℃
驗算：熱水放出 200 × (90 − 58) ＝ 6400 卡；冷水吸收 200 × (58 − 30) ＝ 5600 卡；
6400 − 5600 ＝ 800 ✓ 與題目相符。
注意 (D) 60 就是「忘記散失」的陷阱答案——和本題 (C) 75 的角色完全一樣。
我的原始作答
你算出 75 代表熱平衡的基本計算完全沒問題，甚至看出了兩邊熱容量相等這個特點，
純粹是漏用了「248 cal 散失」這個條件。
建議：讀完題目先把所有數字圈起來，列完式子後逐一劃掉已用到的。
只要有數字沒被劃掉，就一定漏了一步。
複習標記
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還沒標記