兩次鏡射：到 O 的距離都一樣，到 P 的距離卻不一樣
題目
- (A) 甲正確，乙錯誤 ← 正確答案
- (B) 甲錯誤，乙正確
- (C) 兩人皆正確
- (D) 兩人皆錯誤
這題在考什麼
甲的敘述（OQ = OR）考的是「鏡射保長」。
鏡射就像照鏡子，不會改變任何兩點之間的距離。
因為 O 點就在 L₁ 上，鏡射時它不會動（軸上的點是不動點）， 所以 P 到 O 的距離鏡射後仍然一樣 → OQ = OP。
同理 O 也在 L₂ 上 → OR = OP。
兩個都等於 OP，所以 OQ = OR ✓ 甲正確。
乙的敘述（PQ = PR）考的是「點到自己鏡像的距離」。
P 到 Q 的連線垂直於 L₁，而且被 L₁ 平分，所以 PQ = 2 × (P 到 L₁ 的距離) PR = 2 × (P 到 L₂ 的距離) 題目已經說「P 到 L₁ 的距離大於到 L₂ 的距離」， 所以 PQ > PR ✗ 乙錯誤。
題目那句「距離大於」不是背景說明，就是專門用來判斷乙的。 題目給的每個條件都有它要對應的選項。
正確解法
關鍵：O 點同時在 L₁ 和 L₂ 上（兩線交點）。
・以 L₁ 鏡射時，O 在軸上 → O 不動；P → Q 鏡射保長 → OQ = OP ・以 L₂ 鏡射時，O 也在軸上 → O 不動；P → R 鏡射保長 → OR = OP ∴ OQ = OR = OP → 甲正確 ✓ 換句話說，P、Q、R 三點都在「以 O 為圓心、OP 為半徑」的同一個圓上。
設 P 到 L₁ 的距離為 d₁、到 L₂ 的距離為 d₂，題目給 d₁ > d₂。
對稱點的定義：對稱軸是「連線的垂直平分線」，所以 PQ = 2d₁ PR = 2d₂ 因為 d₁ > d₂： 2d₁ > 2d₂ → PQ > PR → 乙錯誤 ✗
甲正確、乙錯誤 → 答案 (A)。
用具體數字檢查一次
假設 P 到 L₁ 的距離 d₁ = 5，到 L₂ 的距離 d₂ = 3，OP = 8：
| 要比的量 | 算法 | 數值 | 結論 |
|---|---|---|---|
| OQ | = OP（鏡射保長） | 8 | OQ = OR ✓ 甲正確 |
| OR | = OP（鏡射保長） | 8 | |
| PQ | = 2d₁ = 2 × 5 | 10 | PQ ≠ PR ✗ 乙錯誤 |
| PR | = 2d₂ = 2 × 3 | 6 |
畫圖時的三個重點
- Q 在哪裡？從 P 向 L₁ 作垂線，延長同樣長度到另一側。
- R 在哪裡？從 P 向 L₂ 作垂線，延長同樣長度到另一側。
- P、Q、R 三點共圓（圓心 O、半徑 OP）—— 看到「兩條線交於一點，某點對兩線各作對稱」，就要想到這個圓。
要記住的觀念
- 鏡射（線對稱）保持長度、角度、面積，只改變左右方向。 所以任何線段鏡射後長度不變。
- 對稱軸上的點是「不動點」——鏡射後還在原位。 本題 O 在兩條軸上，所以兩次鏡射它都不動，這是甲成立的關鍵。
- 對稱軸是「點與其對稱點連線」的垂直平分線，所以 兩對稱點的距離 = 2 × 點到軸的距離
- 「到 L₁ 的距離大於到 L₂ 的距離」直接決定 PQ > PR—— 題目特地給的條件，一定是某個選項的判斷依據。
- 判斷「甲、乙誰對」的題目，要兩個都獨立驗證， 不要因為甲對就直覺選「兩人皆正確」。
- 幾何敘述題可以代具體數字檢查（例如 d₁=5、d₂=3）， 比純推理更不容易出錯。
延伸：∠QOR 和兩直線夾角有什麼關係？
設 L₁ 與 L₂ 的夾角為 θ，且 P 在兩線之間。
・以 L₁ 鏡射：∠POQ = 2 × ∠(OP 與 L₁ 的夾角)
・以 L₂ 鏡射：∠POR = 2 × ∠(OP 與 L₂ 的夾角)
兩者相加：
∠QOR = 2 × θ
「兩次鏡射 = 旋轉 2θ」是一個很重要的性質。
也就是說：把 P 先對 L₁ 鏡射、再對 L₂ 鏡射，
效果等同於把 P 繞 O 點旋轉 2θ。
這個結論在高中還會再遇到，現在先有印象即可。
本題只用到「OQ = OR = OP」這個較簡單的部分，
但知道三點共圓，會讓整張圖瞬間清楚很多。
類題自我檢測
1. 若 P 點就在 L₁ 上，則 Q 點在哪裡？此時 PQ 等於多少？
2. 若 P 到 L₁ 的距離等於到 L₂ 的距離，甲、乙的敘述各是否正確？
3. 若 OP = 10、P 到 L₁ 的距離為 6，則 OQ 是多少？PQ 是多少？
看解答
1. P 在軸上 → P 是不動點 → Q 就是 P 自己，
PQ = 0
（此時 P 到 L₁ 的距離為 0，PQ = 2 × 0 = 0 ✓ 公式仍成立。）
2. 甲仍然正確（OQ = OR = OP 與距離無關）；
乙變成正確（d₁ = d₂ → PQ = PR）。此時答案會變成 (C) 兩人皆正確。
這說明題目那句「大於」有多關鍵——改成「等於」答案就完全不同。
3. OQ = OP = 10
PQ = 2 × 6 = 12
（注意 OQ 不受「到 L₁ 距離」影響，兩者是不同的量，不要混在一起。）
我的原始作答
作答欄填的是 (A)，與正確答案相同。
這題列入複習，是因為「鏡射」單元有兩個很容易互相干擾的性質，
現在答對不代表下次一定穩，值得把觀念釘牢：
性質一（甲用到的）：鏡射保長，軸上的點不動。
→ 只要 O 在對稱軸上，OP 鏡射後長度一定不變
→ 和「P 離軸多遠」完全無關
性質二（乙用到的）：點到對稱點的距離 = 2 × 點到軸的距離。
→ 這個完全取決於「P 離軸多遠」
一個與距離無關、一個與距離直接相關——
這正是命題老師把甲、乙放在一起的用意。
考試時看到這種「甲乙敘述」題，
先問自己「這個敘述用到題目的哪個條件」：
・甲沒用到「距離大於」→ 那個條件不影響甲
・乙用到了「距離大於」→ 那個條件就是拿來判斷乙的
建議自己動手畫一次圖：畫兩條交於 O 的直線，取一個離 L₁ 較遠的 P，
作出 Q 和 R，再用尺量 OP、OQ、OR 三段——
會發現真的一樣長，這個畫面記住之後就不會再猶豫了。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。