摺紙戳洞：兩條摺線互相垂直，四個洞就是長方形
題目
- (A) 長方形 ← 正確答案
- (B) 梯形
- (C) 菱形
- (D) 箏形
怎麼想這一題
問題 1：摺了幾次？→ 會有幾個洞？
圖(一)→(二) 摺一次，圖(二)→(三) 摺一次，共 2 次。 戳一個洞，展開後就有 2² = 4 個洞 題目說「所得的四邊形」，正好呼應 4 個洞 ✓
問題 2：這 4 個洞怎麼分布？
每展開一摺，洞就沿著那條摺線鏡射複製一份。 所以最後 4 個洞會以兩條摺線為對稱軸—— 兩條摺線都是這個四邊形的對稱軸。
問題 3：什麼四邊形有兩條互相垂直的對稱軸？
本題兩條摺線互相垂直，所以四邊形同時以兩條垂直的線為對稱軸。
滿足這個條件的四邊形是長方形（正方形是它的特例）。
關鍵在於：對稱軸有幾條、彼此的關係是什麼，直接決定了四邊形的種類。
正確解法
方法：倒著展開，一次一摺，把洞畫出來。
圖(四)上只有 1 個洞 P。沿第二條摺線攤開 → 洞變成 2 個， 這 2 個洞關於第二條摺線對稱（連線垂直摺線，且被摺線平分）。
再沿第一條摺線攤開 → 剛才的 2 個洞各自鏡射一份，變成 4 個。 這 4 個洞關於第一條摺線也對稱。
現在這 4 個點同時具有兩條對稱軸，而且兩軸互相垂直：
為什麼一定是長方形，不是其他選項？
| 選項 | 它的對稱軸 | 符合「兩條垂直對稱軸」嗎 |
|---|---|---|
| (A) 長方形 | 兩條，分別過對邊中點，互相垂直 | ✓ 完全符合 |
| (B) 梯形 | 一般梯形沒有對稱軸；等腰梯形只有 1 條 | ✗ 不夠 |
| (C) 菱形 | 兩條，是兩條對角線，也互相垂直 | ✗ 見下方說明 |
| (D) 箏形 | 只有 1 條（一條對角線） | ✗ 不夠 |
菱形確實有兩條互相垂直的對稱軸，但它的對稱軸是兩條對角線—— 也就是說，四個頂點都落在對稱軸上。
可是摺紙戳洞的情況不同：洞 P 是戳在紙面上的任意位置， 展開後 4 個洞是對稱軸兩側的成對點，不會落在摺線上 （除非 P 剛好戳在摺線上，那就不是四個洞了）。
「四個頂點分居兩軸兩側」→ 長方形； 「四個頂點落在兩軸上」→ 菱形。
題目問「一定是」，所以答案是對任何 P 位置都成立的長方形。
要記住的觀念
- 摺 n 次、戳一個洞 → 展開後 2ⁿ 個洞。 摺 1 次 → 2 個、摺 2 次 → 4 個、摺 3 次 → 8 個。 先數摺幾次，就知道會是幾邊形。
- 每一條摺線展開後都是一條對稱軸。 這是摺紙題的萬用鑰匙。
- 兩條互相垂直的對稱軸（且頂點不在軸上）→ 長方形。 這是本題的結論，值得直接記住。
- 各種四邊形的對稱軸數量： 正方形 4 條、長方形 2 條（過對邊中點）、菱形 2 條（對角線）、 等腰梯形 1 條、箏形 1 條、平行四邊形 0 條。 這張表建議背起來。
- 題目問「一定是」→ 要找對任何情況都成立的答案。 長方形涵蓋了正方形這個特例，所以是「一定」成立的那個。
- 不確定就實際摺一張紙戳個洞。 花兩分鐘做一次，這類題目終身受用。
如果兩條摺線「不」互相垂直，會變成什麼形狀？
那 4 個洞就只剩一條對稱軸（第一條摺線），
形狀會變成等腰梯形或箏形，不再是長方形。
所以「兩條摺線垂直」是本題答案成立的必要條件——
看圖時要確認第二次摺疊的摺線，
是不是垂直於第一次的摺線。
這也解釋了為什麼題目要畫出完整的四張圖：
圖的作用就是讓你確認摺線的方向關係，不是裝飾。
做這類題時，第一件事就是在圖上把兩條摺線描出來，看它們的夾角。
類題自我檢測
1. 若只摺一次後戳一個洞，展開後兩個洞連起來是什麼？
2. 若摺三次（三條摺線兩兩不平行）後戳一個洞，展開後有幾個洞？
3. 若戳洞的位置 P 剛好在摺線上，展開後會有幾個洞？
看解答
1. 2 個洞，連起來是一條線段，而且這條線段垂直於摺線、被摺線平分。
2. 2³ = 8 個洞
展開後會有三條對稱軸，八個洞的分布會相當對稱。
3. 洞會變少。
因為摺線上的點是不動點，鏡射後仍是自己，兩個洞會重合成一個。
若 P 在其中一條摺線上 → 只有 2 個洞；
若 P 剛好在兩條摺線的交點上 → 只有 1 個洞。
這就是為什麼題目要把 P 畫在紙面內部而不是邊上。
我的原始作答
紅筆訂正的答案是 (A) 長方形。
這類題目的標準解題流程（建議固定下來）：
① 數摺了幾次 → 幾個箭頭就摺幾次 → 洞數 = 2ⁿ
② 在圖上把每條摺線描出來，看它們互相垂直還是斜交
③ 兩條垂直摺線 → 長方形；一條摺線 → 等腰梯形或箏形
④ 檢查選項時，用「對稱軸有幾條」去刪
最容易猶豫的是「長方形 vs 菱形」，記住這個區分法：
・洞在摺線的兩側成對出現 → 長方形（本題）
・頂點落在對稱軸上 → 菱形
另外提醒：看到「一定是」三個字，要找的是最保險、涵蓋所有情況的答案。
長方形包含正方形，所以就算 P 的位置剛好讓四個洞形成正方形，
「長方形」這個答案仍然成立——這就是為什麼它是「一定」的那個。
最後還是那句話：找一張紙，摺兩次、戳個洞、攤開看看。
對稱這個單元，動手一次勝過看十遍解析。
複習標記
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