平均、中位數、眾數都一樣：用「總和」直接解出來
題目
- (A) 12
- (B) 13 ← 正確答案
- (C) 14 ← 我選的
- (D) 15
錯在哪裡
x = 14 時：資料變成 11、12、14、14、14、15、19
・眾數 = 14（唯一）✓
・中位數 = 14 ✓
・平均數 = (11+12+14+14+14+15+19) ÷ 7 = 99 ÷ 7 ≈ 14.14 ✗
三個條件只滿足兩個，所以 (C) 不對。
正確的思路要「反過來」：先用平均數定出答案。
三個統計量都相同，而眾數幾乎一定是 14（因為 14 已經出現兩次， 其他數字各只出現一次，除非 x 讓某個數變兩次也追不上）。
既然三者都等於 14，平均數也必須是 14： 七個數的總和 = 14 × 7 = 98 已知六個數的和 = 11+12+14+14+15+19 = 85 x = 98 − 85 = 13 從「總和」下手，一行就解完了。
正確解法
現有資料中 14 出現 2 次，其餘各出現 1 次。
不論 x 是什麼，14 至少還是 2 次；
若 x 等於 11、12、15、19 其中之一，那個數也會變成 2 次 → 就有兩個眾數，違反「唯一的眾數」。
所以 x 必須是新的數字（或是 14），而眾數一定是 14。 ∴ 平均數 = 中位數 = 眾數 = 14
總和 = 平均 × 個數 = 14 × 7 = 98 已知六個數的和： 11 + 12 + 14 + 14 + 15 + 19 = 85 x = 98 − 85 = 13
x = 13 → 由小到大排序： 11、12、13、14、14、15、19 ・平均數 = 98 ÷ 7 = 14 ✓
・中位數 = 第 4 個數 = 14 ✓
・眾數 = 14（出現 2 次，其餘都 1 次，唯一）= 14 ✓
三者全部相同，答案 (B) 13。
四個選項全部驗一次
| x | 排序後 | 平均數 | 中位數 | 眾數 | 三者相同？ |
|---|---|---|---|---|---|
| (A) 12 | 11,12,12,14,14,15,19 | 97÷7 ≈ 13.86 | 14 | 12 和 14（兩個） | ✗ 眾數不唯一 |
| (B) 13 | 11,12,13,14,14,15,19 | 14 | 14 | 14 | ✓ |
| (C) 14 | 11,12,14,14,14,15,19 | 99÷7 ≈ 14.14 | 14 | 14 | ✗ 平均不是 14 |
| (D) 15 | 11,12,14,14,15,15,19 | 100÷7 ≈ 14.29 | 14 | 14 和 15（兩個） | ✗ 兩個都不合 |
只有 (B) 三欄全對。 注意 (A) 和 (D) 都栽在「唯一的眾數」這五個字上—— 補上去的數字讓原本只出現一次的數變成兩次，就產生了兩個眾數。
要記住的觀念
- 平均數題一律先想「總和」。 總和 = 平均 × 個數 知道平均就知道總和，缺一個數立刻用減法補出來。
- 「唯一的眾數」是很強的限制。 它排除掉所有「會造成第二個眾數」的選項——本題一口氣刪掉 (A)(D)。
- 中位數：先排序，再取正中間。 資料有 7 個（奇數）→ 中位數是第 4 個； 若有 8 個（偶數）→ 是第 4、5 個的平均。
- 多個條件的題目，要找「最容易定出答案」的那個先用。 本題用「平均 = 14」一步到位，比一個一個試選項快得多。
- 三個統計量都要驗過才算完成。 x = 14 之所以誘人，就是因為它滿足其中兩個—— 只驗一兩個條件是這題最大的陷阱。
- 眾數是「出現最多次的數」，可以不只一個， 所以題目才要特別寫「唯一的」。看到這三個字要立刻警覺。
更快的算法：用「與 14 的差」加總
既然懷疑平均是 14，就把每個數減掉 14，看差的總和是否為 0：
11→−3、12→−2、14→0、14→0、15→+1、19→+5
目前的差總和 = −3 −2 + 0 + 0 + 1 + 5 = +1
要讓平均剛好是 14，總差必須是 0，所以 x 的差要是 −1：
x = 14 − 1 = 13 ✓
這個方法完全不用算大數字的加總，
在資料很多或數字很大時特別好用（例如都是三位數的成績）。
觀念：平均數就是「讓所有正負偏差互相抵消的那個數」。
類題自我檢測
1. 有六個數：8、10、12、12、14、x，若平均數與眾數相同，求 x。
2. 有七個數：5、7、9、9、11、13、x，若平均數、中位數、唯一眾數都相同，求 x。
3. 承本題，若 x = 20，則平均數、中位數、眾數各是多少？
看解答
1. 眾數為 12（已出現兩次）→ 平均也要是 12
總和 = 12 × 6 = 72
x = 72 − (8+10+12+12+14) = 72 − 56 = 16
驗算：8,10,12,12,14,16 → 平均 = 72÷6 = 12 ✓、眾數 = 12 ✓（唯一）
2. 眾數為 9 → 三者都是 9 → 總和 = 9 × 7 = 63
x = 63 − (5+7+9+9+11+13) = 63 − 54 = 9
但 x = 9 會讓 9 出現 3 次，眾數仍唯一 ✓
排序 5,7,9,9,9,11,13 → 中位數 = 第 4 個 = 9 ✓、平均 = 63÷7 = 9 ✓
答：x = 9。
3. 排序：11,12,14,14,15,19,20
平均 = 105 ÷ 7 = 15；中位數 = 第 4 個 = 14；眾數 = 14
三者不同（平均被 20 這個大數字拉高了）。
這說明：平均數容易被極端值影響，中位數和眾數則不會。
我的原始作答
草稿上把七個數字排開寫成 11 12 14 14 14 15 19，
還標了 ＋2、＋1、−3 等偏差——
你其實已經在用「和平均的差」在思考了，這個方向非常好。
斷點在於：你先把 x 假設成 14（讓眾數更明顯），然後就沒有再回頭檢查平均數。
建議把順序倒過來：先用平均定 x，再驗證另外兩個。
① 眾數幾乎確定是 14（因為 14 已出現兩次）
② 三者相同 → 平均也是 14 → 總和 = 14 × 7 = 98
③ x = 98 − 85 = 13
④ 回頭驗中位數（第 4 個 = 14 ✓）與眾數（唯一 ✓）
「平均數」是三個統計量裡最容易列成方程式的一個，
因為它可以直接寫成「總和 = 平均 × 個數」。
凡是題目同時給了平均數，就先從它下手。
另外把你草稿上的偏差法練熟會很划算：
把每個數減 14，得 −3、−2、0、0、+1、+5，總和 +1，
所以 x 要補 −1 → x = 13。
你差一點就用這個方法解出來了。
複習標記
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