掃地機器人題組：面積開根號、勾股定理算對角
題目
【第 24 題】元宇使用掃地機器人清掃儲藏室地板，機器人從牆角 E 出發， 清掃路徑如圖中綠線（由半圓與直線組成）所示，最後移動到牆角 A 停止。 若掃地機器人是直徑為 36 公分的圓形，且長方形 ABFG 的面積是 16200√2 平方公分， 則 AB 的長度為多少公分？
【第 25 題】承 24 題，若掃地機器人的充電座安裝在 AG 的中點 H， 且 EF : GF = 2 : 3，則 EH 的長度為多少公分？
第 24 題
- (A) 100
- (B) 80√2 ← 我選的
- (C) 120
- (D) 90√2 ← 正確答案
第 25 題
- (A) 210
- (B) 30√59 ← 正確答案
- (C) 240 ← 我選的
- (D) 其他
錯在哪裡
機器人是蛇行清掃（半圓＋直線），每條來回路徑的間距就是機器人的直徑 36 公分。 所以與路徑垂直的那一邊，長度必須是 36 的整數倍。
用這個條件去檢查四個選項，答案立刻出來： 面積 ÷ AB = 另一邊 BF，BF 要是 36 的倍數 只有 AB = 90√2 時，BF = 180 = 36 × 5 ✓ 剛好排 5 條路徑。
題目給了 36 這個數字，就一定要用到——這是選出正確答案的鑰匙。
第 25 題：沒有畫座標、沒有用勾股定理。
E 和 H 不在同一條直線上，必須把它當成直角三角形的斜邊。
先把 24 題的結果整理出來（AG = 180、AB = GF = 90√2）， 再用 EF : GF = 2 : 3 求出正方形邊長 EF = 60√2， 最後畫一個直角三角形算 EH。
選 240 這種「整數」答案，通常是憑感覺估的—— 這題的答案必然含根號，因為圖形的邊長本來就有 √2。
正確解法
第 24 題：AB 是多少？
機器人蛇行清掃時，相鄰兩條直線路徑的距離 = 機器人直徑 = 36 公分。
所以路徑橫跨的那一邊（本題是 BF），必須剛好是 36 的整數倍， 才能不重疊也不留死角地掃完。
| 選項 AB | BF = 16200√2 ÷ AB | 化簡 | 是 36 的倍數嗎 |
|---|---|---|---|
| (A) 100 | 16200√2 ÷ 100 | 162√2 ≈ 229.1 | ✗ 不是整數 |
| (B) 80√2 | 16200√2 ÷ 80√2 | 202.5 | ✗ 不是整數 |
| (C) 120 | 16200√2 ÷ 120 | 135√2 ≈ 190.9 | ✗ 不是整數 |
| (D) 90√2 | 16200√2 ÷ 90√2 | 180 | ✓ 180 = 36 × 5 |
只有 (D) 讓 BF 變成漂亮的整數 180，而且剛好是 36 的 5 倍， 表示機器人來回掃 5 趟就掃完了。答案 (D) 90√2。
根式除法怎麼算？16200√2 ÷ 90√2
把「有根號的」和「沒根號的」分開處理：
16200√2 ÷ (90√2) = (16200 ÷ 90) × (√2 ÷ √2) = 180 × 1 = 180
√2 上下互消，只剩 16200 ÷ 90 = 180。
另外 (B) 的算法：
16200√2 ÷ (80√2) = 16200 ÷ 80 = 202.5
也消掉 √2，但除不盡 → 不合理。
看到選項裡同時有「純整數」和「帶 √2」兩種，
先想想哪一種能讓答案變乾淨。
第 25 題：EH 是多少？
由第 24 題：AB = 90√2、BF = 180。
長方形 ABFG 中，對邊相等： AG = BF = 180 GF = AB = 90√2 H 是 AG 的中點： AH = HG = 180 ÷ 2 = 90
EF : GF = 2 : 3 → EF : 90√2 = 2 : 3 3 × EF = 2 × 90√2 = 180√2 EF = 60√2 正方形 CDEF 的邊長是 60√2。
把 E 往上投影到 AG 所在的直線（設投影點為 G 那一側的垂足）， 形成一個直角三角形：
・水平股 = HG = 90
・鉛直股 = GF + FE = 90√2 + 60√2 = 150√2
・斜邊 = EH EH² = 90² + (150√2)² = 8100 + 150² × 2 = 8100 + 22500 × 2 = 8100 + 45000 = 53100
53100 = 900 × 59 EH = √(900 × 59) = 30√59 答案 (B) 30√59（約 230.4 公分）。
整張圖的完整數據
| 線段 | 長度 | 怎麼來的 |
|---|---|---|
| AB＝GF | 90√2 | 第 24 題答案 |
| BF＝AG | 180 | 16200√2 ÷ 90√2 |
| AH＝HG | 90 | AG 的中點 |
| EF（正方形邊長） | 60√2 | 90√2 × 2/3 |
| 鉛直總長 GF + FE | 150√2 | 90√2 + 60√2 |
| EH | 30√59 | √(90² + (150√2)²) |
要記住的觀念
- 素養題裡的「物體尺寸」通常是關鍵條件。 機器人直徑 36 公分 → 蛇行路徑的間距 → 該邊必須是 36 的倍數。 題目給的數字沒用到，就是漏了一步。
- 根式的乘除：有根號的和沒根號的分開算。 a√c ÷ (b√c) = a ÷ b
- 根式化簡：找出「完全平方數」的因數提出來。 √53100 = √(900 × 59) = 30√59 常用完全平方數：4、9、16、25、36、49、64、81、100、144、225、400、900。
- 算兩點距離 → 造一個直角三角形 → 勾股定理。 水平差當一股、鉛直差當另一股、兩點距離是斜邊。
- (a√2)² = a² × 2，不要忘了平方那個 2。 (150√2)² = 22500 × 2 = 45000 這是根式題最常見的計算失誤。
- 題組題的第 2 小題一定會用到第 1 小題的答案， 所以第 1 小題錯了，第 2 小題幾乎不可能對。務必先確認第 1 小題。
怎麼快速估算 30√59 大概多少？
√59 介於 √49 = 7 和 √64 = 8 之間，而且比較靠近 8：
7.6² = 57.76 7.7² = 59.29
所以 √59 ≈ 7.68 →
30 × 7.68 ≈ 230（公分）
用估算檢查選項：
・(A) 210 → 太小
・(C) 240 → 有點大
・(B) 30√59 ≈ 230 ✓
「算出根號答案後估個大概」是很好的檢查習慣，
能立刻發現自己有沒有把 √2 的平方漏掉（漏掉的話會小很多）。
類題自我檢測
1. 若長方形 ABFG 面積改為 12960√2 平方公分，且 BF 仍需為 36 的倍數，AB 可能是多少？
2. 若 EF : GF = 1 : 3，其餘不變，EH 是多少？
3. 化簡 √28800、√1800。
看解答
1. 試 AB = 90√2 → BF = 12960√2 ÷ 90√2 = 144 = 36 × 4 ✓
答：AB = 90√2（機器人來回掃 4 趟）。
2. EF = 90√2 × (1/3) = 30√2
鉛直總長 = 90√2 + 30√2 = 120√2
EH² = 90² + (120√2)² = 8100 + 28800 = 36900
EH = √(900 × 41) = 30√41
3. √28800 = √(14400 × 2) = 120√2
√1800 = √(900 × 2) = 30√2
訣竅：先找最大的完全平方因數，一次提到底。
我的原始作答
第 24 題填了 (B)、第 25 題填了 (C)，紅筆分別訂正為 (D) 和 (B)。
第 24 題的關鍵動作：把四個選項都拿去除一次。
這題不需要什麼技巧，就是「面積 ÷ 選項 = 另一邊」，
算完看哪一個是漂亮的整數，而且是 36 的倍數。
四個除法各花 10 秒，一分鐘就能確定答案——
選擇題不用怕用「代入法」，它常常比正推還快。
第 25 題的關鍵動作：先把已知長度全部標在圖上。
建議在題目圖上直接寫：
AG = 180、AH = HG = 90
GF = AB = 90√2
EF = 60√2（由 2:3 算出）
標完之後，從 E 到 H 該走幾格水平、幾格鉛直就一目了然：
水平 90、鉛直 90√2 + 60√2 = 150√2，直接套勾股。
特別提醒 (150√2)² 這一步：
(150√2)² = 150² × (√2)² = 22500 × 2 = 45000
很多人會寫成 22500 就繼續算下去，那樣會得到 √30600，答案就不在選項裡了。
「係數平方、根號內也要平方」，這兩件事都要做。
複習標記
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