尋寶趕路：用「平方數夾擠」判斷根號的大小
題目
(1) 請問小雨到達藏寶處時，三人距離起點分別為多少公尺？
(2) 承(1)，已知 41² = 1681、42² = 1764、43² = 1849、44² = 1936， 請判斷小婷、小晴能否於時限內趕到藏寶處？
錯在哪裡
關卡 1：單位換算。速率是「每秒幾公尺」，時間卻是「幾分鐘」。 10 分鐘 = 600 秒 20 分鐘 = 1200 秒 忘了乘 60，所有答案都會小 60 倍。
關卡 2：三人的方向。東、北、西是互相垂直或相反的方向：
・小婷（東）與藏寶處（北）→ 夾直角 → 用勾股
・小晴（西）與藏寶處（北）→ 也夾直角 → 用勾股
不能直接把兩段距離相加或相減。
關卡 3：剩下的時間只有 20 分鐘，不是 30 分鐘。 前 10 分鐘已經用掉了，只剩 1200 秒可以走。
關卡 4（本題的重點）：怎麼比較「帶根號的距離」和「整數的可走距離」？
這就是題目給你 41²～44² 的原因—— 把距離寫成 100√k 的形式，再用兩個平方數把 √k 夾住， 就能判斷距離大約落在哪個範圍。
正確解法
第 (1) 小題：10 分鐘後三人離起點多遠？
10 分鐘 = 10 × 60 = 600 秒
| 人 | 方向 | 速率 | 計算 | 距起點 |
|---|---|---|---|---|
| 小婷 | 東 | 4 m/秒 | 4 × 600 | 2400 公尺 |
| 小雨 | 北 | 6 m/秒 | 6 × 600 | 3600 公尺 |
| 小晴 | 西 | 3 m/秒 | 3 × 600 | 1800 公尺 |
第 (2) 小題：小婷、小晴趕得到嗎？
距離² = 2400² + 3600² = 5760000 + 12960000 = 18720000 距離 = √18720000 = √(10000 × 1872) = 100√1872 用題目給的平方數夾： 43² = 1849 < 1872 < 1936 = 44² 43 < √1872 < 44 → 4300 < 距離 < 4400（公尺）
4 × 1200 = 4800（公尺） 4800 > 4400 > 小婷的實際距離 → 小婷能於時限內趕到 ✓
距離² = 1800² + 3600² = 3240000 + 12960000 = 16200000 距離 = √16200000 = √(10000 × 1620) = 100√1620 用平方數夾： 40² = 1600 < 1620 < 1681 = 41² 40 < √1620 < 41 → 4000 < 距離 < 4100（公尺）
3 × 1200 = 3600（公尺） 3600 < 4000 < 小晴的實際距離 → 小晴無法於時限內趕到 ✗
結果整理
| 人 | 要走的距離 | 範圍 | 20 分鐘可走 | 趕得到嗎 |
|---|---|---|---|---|
| 小婷 | 100√1872 | 4300 ～ 4400 | 4800 公尺 | ✓ 趕得到 |
| 小晴 | 100√1620 | 4000 ～ 4100 | 3600 公尺 | ✗ 趕不到 |
有趣的地方：小晴離起點比較近（1800 < 2400），
但因為她走得慢（3 < 4），反而趕不到。
這也是命題老師的設計——不能只看距離，要看「距離 ÷ 速率」的時間。
要記住的觀念
- 單位一定要先統一。速率用「每秒」，時間就要換成秒： 10 分鐘 = 600 秒、20 分鐘 = 1200 秒。
- 東西南北互相垂直 → 用勾股定理。 東←→西是相反方向、東與北夾直角。畫十字圖是最快的釐清方式。
- 把大數字開根號時，先提出 100 或 10000： √18720000 = 100√1872 剩下的三、四位數才好用平方數去夾。
- 題目給一串平方數 = 在告訴你「用夾擠法估根號」。 43² < 1872 < 44² → 43 < √1872 < 44 這是本題最重要的技巧。
- 另一個更快的比較法：兩邊都平方。 要比 4800 和 √18720000，可以比 4800² = 23040000 和 18720000 —— 前者大 ✓ 同樣結論。 比較根號大小時，「兩邊平方」永遠是安全的做法（都是正數時）。
- 「剩餘時間」不是總時間。已經過了 10 分鐘，只剩 20 分鐘。
- 非選題要寫出判斷的依據， 例如「因為 4800 > 4400 > 小婷的距離，所以趕得到」—— 光寫「能」或「不能」拿不到分。
不用夾擠，用「平方比較」更快
小婷：能走 4800 公尺，要走 √18720000 公尺。
兩邊平方比較：
4800² = 23040000 vs 18720000
23040000 > 18720000 → 走得完 ✓
小晴：能走 3600 公尺，要走 √16200000 公尺。
3600² = 12960000 vs 16200000
12960000 < 16200000 → 走不完 ✗
這個方法完全不需要估根號，只要會平方就行。
不過本題既然給了 41²～44²，
作答時最好照題目的提示走（寫出夾擠過程），比較容易拿到過程分。
類題自我檢測
1. 若小晴的速率改為每秒 4 公尺，她能在時限內趕到嗎？
2. 若小婷往東走了 15 分鐘才接到通知，她還趕得到嗎？（總時限仍是 30 分鐘）
3. 用 41²～44² 判斷：√1750 介於哪兩個整數之間？
看解答
1. 小晴 10 分鐘走 4 × 600 = 2400 公尺（西）
距離² = 2400² + 3600² = 18720000 → 距離介於 4300～4400
20 分鐘可走 4 × 1200 = 4800 公尺 > 4400 → 能趕到 ✓
2. 小婷 15 分鐘走 4 × 900 = 3600 公尺（東）
距離² = 3600² + 3600² = 25920000 → 距離 = 3600√2 ≈ 5091 公尺
剩 15 分鐘 = 900 秒，可走 4 × 900 = 3600 公尺 < 5091 → 趕不到 ✗
（用平方比較：3600² = 12960000 < 25920000 ✓ 同樣結論）
3. 41² = 1681 < 1750 < 1764 = 42²
41 < √1750 < 42
我的原始作答
卷面上寫了 「小婷能，小晴不能」，結論完全正確。
非選題的重點是過程，建議照這個架構寫：
(1) 10 分鐘 = 600 秒
小婷：4 × 600 = 2400 公尺（東）
小雨：6 × 600 = 3600 公尺（北，即藏寶處）
小晴：3 × 600 = 1800 公尺（西）
(2) 剩餘時間 = 30 − 10 = 20 分鐘 = 1200 秒
小婷：距離² = 2400² + 3600² = 18720000
距離 = 100√1872，而 43² = 1849 < 1872 < 1936 = 44²
→ 4300 < 距離 < 4400
可走 4 × 1200 = 4800 > 4400 → 能趕到
小晴：距離² = 1800² + 3600² = 16200000
距離 = 100√1620，而 40² = 1600 < 1620 < 1681 = 41²
→ 4000 < 距離 < 4100
可走 3 × 1200 = 3600 < 4000 → 不能趕到
兩個一定要寫出來的得分點：
① 勾股定理的算式（2400² + 3600²）——證明你知道要用直角三角形
② 平方數夾擠的過程（43² < 1872 < 44²）——
這是題目特地給你 41²～44² 的用意，不用等於浪費了提示
另外提醒：題目給的四個平方數不見得都會用到（本題用到 41²、43²、44²，
還額外需要常識的 40² = 1600）。提示是工具箱，挑合用的就好。
複習標記
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