面積因式分解：先分清楚哪一個是「較長邊」
題目
- (A) 42
- (B) 46 ← 正確答案
- (C) 50 ← 我選的
- (D) 54
錯在哪裡
正確流程是：
① 分解 x² − 7x − 18 = (x − 9)(x + 2)
② 較長邊是 x + 2（因為 +2 > −9），所以 x + 2 = 17 → x = 15
③ 另一邊 = x − 9 = 15 − 9 = 6
④ 周長 = 2 × (17 + 6) = 46
你的答案 50 = 2 × (17 + 8)，代表另一邊算成了 8 —— 很可能是 15 − 9 這個減法失手，或是把分解寫成了 (x − 7)。
免費的檢查機會：兩邊相乘應該等於面積。 17 × 6 = 102，而把 x = 15 代回原式：15² − 7×15 − 18 = 225 − 105 − 18 = 102 ✓
若用 17 × 8 = 136，就對不上了 —— 一驗算就會發現。
正確解法
要找兩個數，相乘 = −18、相加 = −7：
| 兩數 | 相乘 | 相加 | 符合？ |
|---|---|---|---|
| −1, 18 | −18 | 17 | ✗ |
| −2, 9 | −18 | 7 | ✗ |
| −9, 2 | −18 | −7 | ✓ |
| −3, 6 | −18 | 3 | ✗ |
同樣是 x 加一個數，加得多的那個一定比較大： x + 2 > x − 9 （因為 2 > −9，兩者恆差 11） 所以 較長邊 = x + 2。
這一步是全題最關鍵的判斷。如果誤把 x − 9 當成較長邊， 會得到 x = 26、另一邊 = 28，反而比 17 還長 → 自相矛盾，馬上就知道選錯了。
x + 2 = 17 → x = 15
較短邊 = x − 9 = 15 − 9 = 6 周長 = 2 × (17 + 6) = 2 × 23 = 46 答案 (B) 46。
驗算：三個條件全部核對
| 檢查項目 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| 面積（用因式） | 17 × 6 | 102 |
| 面積（用原式，x = 15） | 15² − 7×15 − 18 = 225 − 105 − 18 | 102 ✓ 相符 |
| 兩邊差 | 17 − 6 | 11 ✓（本來就恆差 11） |
| 較長邊 | 17 > 6 | ✓ 17 確實是較長邊 |
要記住的觀念
- 看到「面積是二次式、邊長是一次式」→ 先因式分解。這是固定套路。
- 十字交乘：找兩數相乘 = 常數項、相加 = 一次項係數。本題 (−9) × 2 = −18、(−9) + 2 = −7。
- (x + a) 與 (x + b) 比大小，只要比 a 和 b。因為 x 相同，加得多的就大。(x + 2) > (x − 9)。
- 兩邊的差是固定的。本題永遠差 |2 − (−9)| = 11，所以知道一邊是 17，另一邊必是 6（不可能是 8）。這是最快的檢查法。
- 算完把 x 代回原式驗面積。17 × 6 = 102 = 15² − 7×15 − 18 ✓ 兩種算法一致才算完成。
- 題目問周長不是面積。算出兩邊後別忘了乘 2，也別停在面積就交卷。
如果把「較長邊」認錯會怎樣？
假設誤以為 x − 9 = 17 → x = 26 → 另一邊 = x + 2 = 28。
但 28 > 17，代表「較長邊」其實是 28 不是 17 —— 和題目條件矛盾，這條路走不通。
（此時周長會是 2 × (17 + 28) = 90，根本不在選項裡，也是一個警訊。）
所以判斷完哪一邊比較長之後，一定要回頭確認「算出來的另一邊真的比較短」。
算出來的東西不在選項裡，通常不是計算錯，而是一開始的假設就錯了。
類題自我檢測
1. 一長方形面積為 (x² + 3x − 40) 平方公分，長、寬為 (x + a)、(x + b) 公分。
若較短邊為 6 公分，求周長。
2. 一長方形面積為 (x² − 2x − 24) 平方公分，若較長邊為 20 公分，求面積。
看解答
1. x² + 3x − 40 = (x + 8)(x − 5)。較短邊是 x − 5（因為 −5 < 8）→ x − 5 = 6 → x = 11。
較長邊 = x + 8 = 19。周長 = 2 × (6 + 19) = 50 公分。
驗算：6 × 19 = 114；11² + 3×11 − 40 = 121 + 33 − 40 = 114 ✓
2. x² − 2x − 24 = (x − 6)(x + 4)。較長邊是 x + 4 → x + 4 = 20 → x = 16。
較短邊 = 16 − 6 = 10。面積 = 20 × 10 = 200 平方公分。
驗算：16² − 2×16 − 24 = 256 − 32 − 24 = 200 ✓
（注意兩邊恆差 10，所以較長邊 20 → 較短邊必為 10，這個檢查一秒完成。）
我的原始作答
選 (C) 50 代表你已經解出 x、也知道要算周長，整個架構是對的，
只在「另一邊等於多少」這一步失手。
兩個保險做法：
① 因式分解完就先寫下「兩邊恆差 11」，這樣看到 17 立刻知道另一邊是 6。
② 把 x 代回原式算一次面積，和「長 × 寬」對照 ——
17 × 6 = 102 對得上、17 × 8 = 136 對不上，三十秒就能抓出這種錯。
複習標記
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