數學第3冊 20260720-02 錯題解析

題目

計算 2022² − 21 × 2022 − 22 的結果為一個七位數，則此七位數各個位值的數字之和為多少？

(A) 8
(B) 12　←　我選的
(C) 14　←　正確答案
(D) 20

我的答案：(B) 12硬乘大數，中途算錯

正確答案：(C) 14結果是 4046000，4+0+4+6 = 14

錯在哪裡

關鍵錯誤：把 2022² 老老實實乘出來，然後在大數計算中出錯。
2022² = 4088484，再減 21 × 2022 = 42462，再減 22 —— 三個步驟、每步都是七位數的加減， 只要有一位算錯，數字和就全錯了。

這題根本不需要算 2022²。把 2022 看成一個代號 n，式子立刻變成： n² − 21n − 22 = (n − 22)(n + 1) 代回 n = 2022： (2022 − 22)(2022 + 1) = 2000 × 2023 = 4046000 2000 × 2023 是可以心算的，完全不會出錯。

看到「大數字重複出現好幾次」，就是在提示你用代換 + 因式分解。 出題老師特意設計成能分解的形式，硬算反而是走冤枉路。

正確解法

Step 1　把重複出現的大數換成一個字母
令 n = 2022，原式變成 n² − 21n − 22 瞬間變成一個很普通的二次式。

Step 2　十字交乘分解
找兩數相乘 = −22、相加 = −21 → 是 −22 和 1： n² − 21n − 22 = (n − 22)(n + 1) 驗算展開：n² + n − 22n − 22 = n² − 21n − 22 ✓

Step 3　代回 n = 2022
(2022 − 22) × (2022 + 1) = 2000 × 2023 這一步的漂亮之處：2022 − 22 剛好變成整齊的 2000。 2000 × 2023 = 4046000 （心算：2023 × 2 = 4046，再補三個 0。）

Step 4　算各位數字之和
4046000 是七位數 ✓（和題目說的相符，這本身就是一個驗算）

位值	百萬	十萬	萬	千	百	十	個	合計
數字	4	0	4	6	0	0	0	14

4 + 0 + 4 + 6 + 0 + 0 + 0 = 14 答案 (C) 14。

硬算的路線（對照用，看看有多麻煩）

步驟	算式	結果
1	2022²	4088484
2	21 × 2022	42462
3	4088484 − 42462	4046022
4	4046022 − 22	4046000 ✓

答案一樣，但要做一次四位數平方、一次乘法、兩次七位數減法 —— 出錯機率高太多，而且花的時間是因式分解法的好幾倍。

要記住的觀念

大數重複出現 → 令它為 n，做代換。這是處理 2022、2023 這類「年份題」的萬用招。
先因式分解，再代入數字。幾乎所有這類題都設計成能分解，而且分解後的數字會變得很整齊（本題出現 2000）。
十字交乘找「相乘等於常數項、相加等於一次項係數」的兩數。本題是 −22 和 +1。
題目說「結果為七位數」是一個提示，也是檢查點。算出 4046000 剛好七位 ✓ 若你算出六位或八位，就知道錯了。
各位數字之和要把 0 也數進去（雖然加 0 不影響）。4046000 有四個 0，別漏看中間那個 0 而把數字抄錯。
能避開的大數計算就避開。考試時算對比算快重要，而因式分解剛好又快又不容易錯。

怎麼看出「這題可以分解」？

觀察式子 2022² − 21 × 2022 − 22：
・出現了 2022 的平方和 2022 的一次項，還有一個常數 —— 這就是標準的二次式外型。
・係數 −21 和 −22 都是小數字，很容易找到分解（−22 與 +1）。

反過來想：如果出題者要你硬乘，何必把式子寫成這麼工整的二次式？ 看到這種排版就該直覺反應「這是要我代換的」。

類似的還有 a² − b² 型：例如 2023² − 2022² = (2023+2022)(2023−2022) = 4045，心算三秒完成。

類題自我檢測

1. 計算 2023² − 24 × 2023 − 25，並求其各位數字之和。
2. 計算 2024² − 2023 × 2025。

看解答

1. 令 n = 2023 → n² − 24n − 25 = (n − 25)(n + 1) = (2023 − 25)(2023 + 1) = 1998 × 2024。
1998 × 2024 = 2000 × 2024 − 2 × 2024 = 4048000 − 4048 = 4043952。
數字和 = 4 + 0 + 4 + 3 + 9 + 5 + 2 = 27。

2. 令 n = 2024 → 2023 = n − 1、2025 = n + 1：
n² − (n − 1)(n + 1) = n² − (n² − 1) = 1 答案是 1！完全不用算任何大數 —— 這就是代換 + 平方差公式的威力。

我的原始作答

旁邊的草稿在做長除法（3x + 2 除 6x² + 13x + 6），那是別題的計算，表示這題幾乎沒有動筆就選了。
下次看到含有 2022、2023 這種大數的計算題，先做這個動作：在旁邊寫「令 n = 2022」，把整個式子重寫一次。
式子變成 n² − 21n − 22 之後，你一定看得出可以分解 —— 這題就從「大數硬算」變成一行心算。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記