A² = B² 有兩種情況：A = B 或 A = −B
題目
- (A) 兩正根
- (B) 兩負根 ← 正確答案
- (C) 一正根、一負根 ← 我選的
- (D) 一負根、一根為 0
錯在哪裡
這題看起來很嚇人（99x、100x、平方），但只要用對方法， 兩個根三行就能算出來，根本不需要展開。
關鍵性質： A² = B² ⟺ A = B 或 A = −B 也就是「兩數的平方相等，代表它們本身相等，或是互為相反數」。
很多人只想到第一種（A = B），就只解出一個根，另一個根用猜的。
絕對不要展開！(99x − 4)² 和 (100x + 6)² 展開會出現 9801x² 和 10000x²， 相減得到 −199x² − 1992x − 20 = 0，係數又大又醜，幾乎不可能正確做完。 「開方法」才是這題的正解。
正確解法
(99x − 4)² = (100x + 6)² ⟹ 99x − 4 = 100x + 6 或 99x − 4 = −(100x + 6) 兩種情況都要解，一個都不能少。
99x − 4 = 100x + 6 −4 − 6 = 100x − 99x → x = −10 得到第一根 x = −10（負根）。
99x − 4 = −100x − 6 99x + 100x = −6 + 4 → 199x = −2 → x = −2/199 得到第二根 x = −2/199（也是負根，而且是個很接近 0 的小負數）。
| 根 | 值 | 約略大小 | 正負 |
|---|---|---|---|
| 第一根 | −10 | −10 | 負 |
| 第二根 | −2/199 | ≈ −0.01 | 負 |
注意 −2/199 雖然非常接近 0，但它不等於 0，所以 (D) 也不對。 分子是 −2 不是 0，這一點要看仔細。
驗算：把根代回原式
| x | 99x − 4 | 100x + 6 | 兩者關係 |
|---|---|---|---|
| −10 | −990 − 4 = −994 | −1000 + 6 = −994 | 相等 → 平方當然相等 ✓ |
| −2/199 | −198/199 − 4 = −994/199 | −200/199 + 6 = 994/199 | 互為相反數 → 平方相等 ✓ |
第一根對應「兩邊相等」，第二根對應「兩邊互為相反數」—— 剛好呈現 A² = B² 的兩種情況。
要記住的觀念
- A² = B² ⟺ A = B 或 A = −B。絕不能只寫 A = B，那樣會漏掉一半的根。
- 另一種寫法：移項用平方差。A² − B² = 0 → (A + B)(A − B) = 0 → A = −B 或 A = B，兩個根一次到手。
- 看到 (大係數)² = (大係數)² 千萬不要展開。展開只會製造 9801、10000 這種難算的數字，開方法才是正路。
- 加負號時要把括號整個分配。−(100x + 6) = −100x − 6，不是 −100x + 6。這是本題第二根最容易錯的地方。
- 問「根的正負」就把根實際算出來。不要用判別式或感覺猜，這題算出來只要三行。
- 分數根別忽略。−2/199 ≈ −0.01 很接近 0 但不是 0，看清楚分子是不是 0 再判斷。
用平方差公式做，更快
把右邊移到左邊：
(99x − 4)² − (100x + 6)² = 0
套用 a² − b² = (a + b)(a − b)，其中 a = 99x − 4、b = 100x + 6：
［(99x − 4) + (100x + 6)］ × ［(99x − 4) − (100x + 6)］ = 0
(199x + 2)(−x − 10) = 0
→ 199x + 2 = 0 → x = −2/199； −x − 10 = 0 → x = −10 ✓
兩個根一次全部出來，而且不用分情況討論。這是更推薦的寫法。
類題自我檢測
1. 解方程式 (2x − 5)² = (x + 1)²，並判斷兩根的正負。
2. 解方程式 (3x + 2)² = (3x − 7)²。（小心！）
看解答
1. ・2x − 5 = x + 1 → x = 6
・2x − 5 = −(x + 1) = −x − 1 → 3x = 4 → x = 4/3
兩根都是正根。
（用平方差檢查：(3x − 4)(x − 6) = 0 → x = 4/3 或 6 ✓）
2. ・3x + 2 = 3x − 7 → 2 = −7 矛盾，無解（x 被消掉了）
・3x + 2 = −(3x − 7) = −3x + 7 → 6x = 5 → x = 5/6
所以只有一個根 x = 5/6。
這題示範了重要例外：當兩邊的 x 係數相同時，第一種情況會無解，方程式只有一個根。
千萬不要因為「應該有兩根」就硬湊。
我的原始作答
這題沒有留下計算，應該是被 99x、100x 這種大係數嚇到，直接從選項挑了看起來「最中庸」的 (C)。
但這題其實是送分題 —— 只要記得「平方相等有兩種情況」，三行就解完。
建議把這個反射動作練起來：看到「( )² = ( )²」，立刻在旁邊寫下兩行：
「① 左 = 右」
「② 左 = −右」
先把這兩行寫出來，再分別解，就不會漏根、也不會想去展開。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。