配方法：右邊變大 2，左邊完全不動
題目
- (A) (x − a)² = 9 ← 正確答案
- (B) (x − a)² = 5 ← 我選的
- (C) (x − a + 2)² = 9
- (D) (x − a + 2)² = 5
錯在哪裡
第一個式子是 x² − 6x + b = 0，配方後 (x − a)² = 7。
第二個式子只有右邊從 0 變成 2，左邊 x² − 6x + b 一個字都沒改。
配方的過程完全一樣，只是最後移項時右邊多了個 2： 原本：(x − a)² = 0 + 7 = 7 現在：(x − a)² = 2 + 7 = 9 右邊變大 2，配方後的右邊也跟著變大 2。
另外 (C)、(D) 把括號寫成 (x − a + 2) 也是陷阱：
左邊的 x² − 6x 完全沒變，配出來的括號一定還是 (x − 3)²， 跟右邊是 0 還是 2 一點關係都沒有。右邊的常數不會跑進括號裡。
正確解法
配方 x² − 6x：一次項係數是 −6，取一半得 −3，所以 x² − 6x = (x − 3)² − 9 因此 a = 3。原式變成 (x − 3)² − 9 + b = 0 → (x − 3)² = 9 − b 題目說這等於 7： 9 − b = 7 → b = 2
把 a = 3、b = 2 代入 x² − 6x + b = 2： x² − 6x + 2 = 2 同樣配方： (x − 3)² − 9 + 2 = 2 (x − 3)² = 2 + 9 − 2 = 9 也就是 (x − a)² = 9 → 答案 (A)。
兩個方程式的左邊一模一樣，只有右邊從 0 變成 2：
| 方程式 | 左邊 | 右邊 | 配方後 |
|---|---|---|---|
| 原本 | x² − 6x + b | 0 | (x − a)² = 7 |
| 新的 | x² − 6x + b（相同） | 2（多了 2） | (x − a)² = 7 + 2 = 9 |
驗算：把兩個方程式的根都解出來
| 方程式 | 展開式 | 配方形式 | 根 |
|---|---|---|---|
| x² − 6x + 2 = 0 | — | (x − 3)² = 7 | x = 3 ± √7 |
| x² − 6x + 2 = 2 | x² − 6x = 0 → x(x − 6) = 0 | (x − 3)² = 9 | x = 0 或 6 |
檢查第二式：(x − 3)² = 9 → x − 3 = ±3 → x = 6 或 0 ✓
而 x² − 6x = 0 直接因式分解也得到 x = 0 或 6 ✓ 兩種做法完全一致。
要記住的觀念
- 配方時「一次項係數取一半」。x² − 6x → 取 −6 的一半 = −3 → (x − 3)²。這個 −3 只由 −6 決定，與常數項無關。
- (x − k)² = x² − 2kx + k²，所以要補 k²。x² − 6x = (x − 3)² − 9，記得減掉多出來的 9。
- 左邊不變 ⟹ 括號不變。右邊的常數永遠不會影響括號裡的內容，所以 (C)、(D) 的 (x − a + 2) 一定錯。
- 右邊 +2 ⟹ 配方後的值也 +2。方程式兩邊同加一個數，等式仍成立，這就是本題的全部。
- 不確定就把 a、b 實際算出來（a = 3、b = 2），再重做一次配方。慢一點但保證正確。
- 最後把根解出來驗算。(x−3)² = 9 → x = 0 或 6，代回 x² − 6x + 2 = 2 檢查：0 − 0 + 2 = 2 ✓、36 − 36 + 2 = 2 ✓
為什麼右邊的數不會跑進括號？
配方的動作只針對含 x 的部分：x² − 6x。
不管方程式右邊是 0、是 2、還是 100，你要配的都是同一個 x² − 6x，
配出來永遠是 (x − 3)²。
右邊的數只是在移項時被加到等號右側而已：
x² − 6x + 2 = k → (x − 3)² − 9 + 2 = k → (x − 3)² = k + 7
k 變大多少，右邊就變大多少，括號永遠是 (x − 3)²。
所以選項裡只要看到括號被改動（如 x − a + 2），就可以直接刪掉。
類題自我檢測
1. 已知 x² + 8x + c = 0 可配方成 (x + a)² = 5，則 x² + 8x + c = 4 可配方成什麼形式？
2. 承上，求 a 與 c 的值。
看解答
1. 左邊完全相同、右邊多了 4 → (x + a)² = 5 + 4 = 9。
2. 配方：x² + 8x = (x + 4)² − 16 → a = 4。
原式：(x + 4)² − 16 + c = 0 → (x + 4)² = 16 − c = 5 → c = 11。
驗算第 1 小題：x² + 8x + 11 = 4 → x² + 8x + 7 = 0 → (x + 4)² − 16 + 7 = 0 → (x + 4)² = 9 ✓
我的原始作答
題目旁寫了「b + 7 = a²」之類的嘗試，代表你有在思考 a、b 之間的關係，
方向是對的，只是最後把 2 減掉而不是加上。
最好的防呆方法：把兩個方程式上下對齊寫出來。
x² − 6x + b = 0 → (x − a)² = 7
x² − 6x + b = 2 → (x − a)² = ?
這樣一看就知道「左邊一樣、右邊多 2」，答案自然是 7 + 2 = 9。
算完再把根解出來（x = 0 或 6）代回檢查，30 秒內就能確認無誤。
複習標記
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