配方法：常數要「移過去再加 1」，不是減 1
題目
- (A) 2021 ← 我選的
- (B) 2023
- (C) 2025 ← 正確答案
- (D) 2027
錯在哪裡
要把 4x² − 4x 補成 (2x − 1)²，必須加上 1： (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1 所以原式要這樣處理： 4x² − 4x = 2023 4x² − 4x + 1 = 2023 + 1 ← 兩邊都要加 1 (2x − 1)² = 2024 常見錯誤是寫成 2023 − 1 = 2022， 因為腦中想的是「把 +1 移過去要變號」—— 但這裡的 1 是「額外補上去的」，不是原本就在左邊的， 兩邊同時加 1，右邊當然也是加。
檢查方法：把答案代回去展開一次。
若 (2x−1)² = 2024 → 展開 4x² − 4x + 1 = 2024 → 4x² − 4x − 2023 = 0 ✓
若 (2x−1)² = 2022 → 展開 4x² − 4x + 1 = 2022 → 4x² − 4x − 2021 = 0 ✗
五秒鐘就能確認自己有沒有加錯邊。
正確解法
4x² − 4x − 2023 = 0 4x² − 4x = 2023
因為 (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1，左邊還差一個 +1： 4x² − 4x + 1 = 2023 + 1 (2x − 1)² = 2024 所以 m = 2024。
2x − 1 = ± √2024 2x = 1 ± √2024 x = (1 ± √2024) / 2 對照題目的形式 x = (n ± √m) / 2： n = 1， m = 2024
n + m = 1 + 2024 = 2025 答案 (C) 2025。
驗算：把 (2x − 1)² = 2024 展開回去
| 步驟 | 式子 | 對嗎 |
|---|---|---|
| 假設的結果 | (2x − 1)² = 2024 | — |
| 展開左邊 | 4x² − 4x + 1 = 2024 | — |
| 移項 | 4x² − 4x + 1 − 2024 = 0 | — |
| 整理 | 4x² − 4x − 2023 = 0 | ✓ 和原題完全一樣 |
如果不小心配成 2022 會怎樣？
| m | 展開後的方程式 | 和原題比 | n + m | |
|---|---|---|---|---|
| 正確 | 2024 | 4x² − 4x − 2023 = 0 | ✓ 一樣 | 2025 |
| 配錯（減 1） | 2022 | 4x² − 4x − 2021 = 0 | ✗ 差了 2 | 2023 |
| 配錯（沒動） | 2023 | 4x² − 4x − 2022 = 0 | ✗ 差了 1 | 2024 |
四個選項 2021、2023、2025、2027 剛好都差 2， 正是設計來抓「常數項加減弄錯」的人。 看到選項是連續的奇數（或等差），就要特別小心加減方向。
要記住的觀念
- 配方法的本質：等號兩邊做同樣的事。 左邊加 1，右邊也要加 1。「移項變號」和「兩邊同加」是不同的操作，不要混。
- 常用完全平方式（要背熟）： (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1 (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1 (3x − 1)² = 9x² − 6x + 1 (x − a)² = x² − 2ax + a²
- 配方後開根號一定要寫「±」， 少寫一個負根，方程式就只解出一半。
- 題目給了目標形式 (2x−1)² = m，就照著它走。 不必自己從頭配方，只要問「左邊要變成 (2x−1)²，還缺什麼？」
- 對照 x = (n ± √m)/2 找 n 和 m 時，要看清楚位置。 x = (1 ± √2024)/2 → n = 1、m = 2024
- 萬用檢查法：把答案展開回原式。 這一步只要 10 秒，卻能百分之百確認配方有沒有錯。
從頭配方的完整流程（如果題目沒給提示）
4x² − 4x − 2023 = 0
方法一：先讓 x² 的係數變 1
x² − x − 2023/4 = 0 → x² − x = 2023/4
補上 (1/2)² = 1/4：
x² − x + 1/4 = 2023/4 + 1/4 = 2024/4 = 506
(x − 1/2)² = 506 → x − 1/2 = ±√506
x = 1/2 ± √506 = (1 ± 2√506)/2 = (1 ± √2024)/2 ✓
（因為 2√506 = √(4×506) = √2024）
方法二：直接看成 (2x)² 的配方（本題用的方法，更快）
(2x)² − 2(2x)(1) = 2023
補上 1² = 1：
(2x)² − 2(2x) + 1 = 2024 → (2x − 1)² = 2024 ✓
當 x² 的係數是完全平方數（4、9、16…）時，方法二快很多。
類題自我檢測
1. 將 9x² − 6x − 2024 = 0 化為 (3x − 1)² = m，求 m。
2. 將 4x² + 4x − 99 = 0 化為 (2x + 1)² = m，並解出 x。
3. 若 (2x − 3)² = 25，求 x。
看解答
1. (3x − 1)² = 9x² − 6x + 1，所以
9x² − 6x = 2024 → 9x² − 6x + 1 = 2025 → m = 2025
（順帶：√2025 = 45，所以 3x − 1 = ±45 → x = 46/3 或 −44/3）
2. (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
4x² + 4x = 99 → 4x² + 4x + 1 = 100 → (2x+1)² = 100
2x + 1 = ±10 → x = 4.5 或 x = −5.5
驗算：4(4.5)² + 4(4.5) − 99 = 81 + 18 − 99 = 0 ✓
3. 2x − 3 = ±5
2x = 8 或 2x = −2 → x = 4 或 x = −1
記得寫兩個解！
我的原始作答
作答欄填了 (A) 2021，紅筆訂正為 (C) 2025。
2021 和正確答案 2025 差了 4，代表 m 被算成了 2020 或 2022——
問題出在配方時那個「+1」的方向。
建議把配方寫成「三行對齊」的格式，加錯邊就會很明顯：
另外請養成「展開驗算」的習慣：
配完之後，把 (2x − 1)² = 2024 展開回去：
4x² − 4x + 1 = 2024 → 4x² − 4x − 2023 = 0
和原題一模一樣 ✓
這個檢查只花 10 秒，但可以百分之百確定配方對不對。
配方法是二次方程式與拋物線單元的基本功， 後面的頂點式、最大最小值都會用到，現在把「兩邊同加」這件事釘牢，非常值得。
複習標記
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