圓面積是正方形的 4π 倍：π 會自己消掉
題目
- (A) 2π
- (B) 4π ← 正確答案
- (C) 6π
- (D) 8π ← 我選的
錯在哪裡
設正方形邊長 s、圓半徑 r： πr² = 4π × s² 兩邊同除以 π： r² = 4s² → r = 2s 再配合「半徑比邊長多 1」： r = s + 1 2s = s + 1 → s = 1，r = 2 圓周長 = 2πr = 2π × 2 = 4π。
兩個最常見的失誤：
① 沒有把 π 消掉，硬拿 π 去算。 式子會變得很亂，導出 r 和 s 的關係時容易出錯。
② 算出 r = 2 之後，周長用錯公式。 圓周長 = 2πr（用半徑）＝ πd（用直徑） 如果把 r = 2 誤當直徑，或算成 2π × 4，就會得到 8π——正是選項 (D)。
「半徑」和「直徑」搞混，是圓形題最常見、也最可惜的失分點。
正確解法
設正方形邊長 = s，則圓半徑 = s + 1 「多 1」的關係先寫進去，就只剩一個未知數。
圓面積 = π(s + 1)² 正方形面積 = s² 「圓面積是正方形面積的 4π 倍」： π(s + 1)² = 4π × s²
(s + 1)² = 4s² π 消失了，整題變成純數字的方程式。
兩邊開根號（長度都是正的，取正根）： s + 1 = 2s s = 1（公分） 半徑 r = s + 1 = 2（公分）
也可以展開來解（結果一樣）
(s + 1)² = 4s²
s² + 2s + 1 = 4s²
3s² − 2s − 1 = 0
(3s + 1)(s − 1) = 0
s = 1 或 s = −1/3
邊長不能是負數 → s = 1 ✓
解出兩根時，一定要用「長度必為正」把負根刪掉。
圓周長 = 2πr = 2π × 2 = 4π（公分） 答案 (B) 4π。
驗算：代回原題檢查
| 項目 | 數值 | 檢查條件 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 正方形邊長 | 1 公分 | 半徑比邊長多 1 | 2 − 1 = 1 ✓ |
| 圓半徑 | 2 公分 | ||
| 正方形面積 | 1² = 1 | 圓面積是正方形的 4π 倍 | 4π ÷ 1 = 4π ✓ |
| 圓面積 | π × 2² = 4π | ||
| 圓周長 | 2π × 2 = 4π | — | — |
有趣的巧合：這個圓的面積和周長「數值」剛好都是 4π。 （面積 4π 平方公分、周長 4π 公分，單位不同但數字一樣。） 這正是命題老師故意設計的，讓算對面積卻抄錯欄位的人也會選到 (B)…… 但更多人會像選項 (D) 那樣算成 8π。
選項 (D) 8π 是怎麼來的？
① 把 r = 2 當成半徑，卻用了 4πr 之類的錯公式（把 2πr 的 2 和 r 弄混）。
② 算出直徑 = 4，然後又用 2πr 代 r = 4 → 8π（直徑當半徑用）。
防範方法：寫周長時把公式完整抄一次再代數字。 C = 2πr = 2 × π × 2 = 4π 「先寫公式、再代數字」能擋掉絕大多數的公式混用。
要記住的觀念
- 圓的兩個公式一定要分清楚： 面積 A = πr² 周長 C = 2πr = πd 面積是「r 的平方」、周長是「r 的一次方乘 2」。
- 等式兩邊都有 π 時，先把 π 約掉。 πr² = 4π s² → r² = 4s² π 消掉之後題目會簡單非常多。
- 「A 比 B 多 1」→ 只設一個未知數：B = s、A = s + 1。 設兩個未知數會多列一條式子，比較麻煩。
- 解出二次方程式後，用「長度必為正」刪掉負根。 幾何題幾乎都有這個隱藏條件。
- r² = 4s² 時可以直接開根號得 r = 2s（因為都是正數）， 不必展開成二次方程式，速度快很多。
- 答案算完問一句：「題目問的是面積、周長，還是半徑？」 這題問的是周長，不是半徑（2）也不是面積（4π 平方公分）。
為什麼是「4π 倍」這麼奇怪的倍數？
因為命題老師想讓 π 剛好消掉。
如果題目寫「圓面積是正方形面積的 4 倍」，那就會是
πr² = 4s² → r² = 4s²/π
算出來 r 會帶著 √π，非常醜。
寫成「4π 倍」之後：
πr² = 4π s² → r² = 4s²
兩邊的 π 完美消掉，答案就變成漂亮的整數。
看到題目出現「π 倍」這種奇怪的倍數，就是在提示你「π 會被消掉」——
這是一個很好的解題訊號，看到就直接把 π 約掉。
類題自我檢測
1. 若圓的半徑比正方形邊長多 2 公分，且圓面積是正方形面積的 4π 倍，求圓周長。
2. 若圓的半徑比正方形邊長多 1 公分，且圓面積是正方形面積的 9π 倍，求圓面積。
3. 一個圓的周長是 10π 公分，它的面積是多少？
看解答
1. π(s+2)² = 4π s² → (s+2)² = 4s² → s + 2 = 2s → s = 2
半徑 r = 4 → 周長 = 2π × 4 = 8π（公分）
2. π(s+1)² = 9π s² → (s+1)² = 9s² → s + 1 = 3s → s = 0.5
半徑 r = 1.5 → 面積 = π(1.5)² = 2.25π（平方公分）
3. 2πr = 10π → r = 5
面積 = π × 5² = 25π（平方公分）
先由周長求半徑，再用半徑求面積——順序不能跳。
我的原始作答
作答欄填了 (D) 8π，紅筆訂正為 (B) 4π。
草稿上有 1×1×π、3×3×π、3×5×π 等嘗試，
還畫了一個標著 x + 1 的圓和一個正方形——
你正確地把「半徑 = 邊長 + 1」畫進圖裡了，這個理解是對的。
斷點在於：沒有把面積關係列成方程式，而是一組一組去試數字。
試值法在這題不容易碰對，因為答案的邊長是 1、半徑是 2，
而你試的是 3、5 這些比較大的數。
建議改用「列式再解」的流程，這題只有三行：
最後也最重要的提醒：算完半徑 r = 2 之後， 請把周長公式完整寫一次再代數字。 C = 2πr = 2 × π × 2 = 4π 直接心算「2 的圓周長」很容易變成 8π（把直徑 4 當半徑用）。 「先寫公式、再代數字」這個小動作，能穩穩守住這一分。
複習標記
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