分式化簡：先因式分解，再回頭檢查 x 是不是整數
題目
- (A) 1/4 ← 正確答案（不可能）
- (B) 3/7
- (C) 5/9
- (D) 7/11
錯在哪裡
看起來很嚇人的兩個二次式，其實有一個公因式： x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) x² + 2x − 35 = (x + 7)(x − 5) 上下都有 (x − 5)，約掉之後整個式子瞬間變簡單： 原式 = (x + 3) / (x + 7) 約分之後，這題就變成「(x+3)/(x+7) 等於某個分數時，x 是不是整數」而已。
第二個關卡：題目問的是「不可能」。
要一個一個把選項代進去解 x， 解出來 x 不是整數的那一個，才是答案。
粗心的人會找「算得出來的」，正好選反。
提醒：題目說「x 為整數」，這五個字就是整題的判斷標準。 沒注意到這個條件，四個選項看起來都可能。
正確解法
分子：找兩數相乘 = −15、相加 = −2 → −5 和 +3 x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) 分母：找兩數相乘 = −35、相加 = +2 → +7 和 −5 x² + 2x − 35 = (x + 7)(x − 5)
原式 = [(x−5)(x+3)] / [(x+7)(x−5)] = (x + 3) / (x + 7) （此處 x ≠ 5，否則分母為 0。）
令 (x + 3)/(x + 7) = 該分數，交叉相乘後解 x：
| 選項 | 方程式 | 交叉相乘 | 解 x | x 是整數嗎 |
|---|---|---|---|---|
| (A) 1/4 | (x+3)/(x+7) = 1/4 | 4(x+3) = x+7 | 4x+12 = x+7 3x = −5 x = −5/3 | ✗ 不是整數 |
| (B) 3/7 | (x+3)/(x+7) = 3/7 | 7(x+3) = 3(x+7) | 7x+21 = 3x+21 4x = 0 x = 0 | ✓ 是整數 |
| (C) 5/9 | (x+3)/(x+7) = 5/9 | 9(x+3) = 5(x+7) | 9x+27 = 5x+35 4x = 8 x = 2 | ✓ 是整數 |
| (D) 7/11 | (x+3)/(x+7) = 7/11 | 11(x+3) = 7(x+7) | 11x+33 = 7x+49 4x = 16 x = 4 | ✓ 是整數 |
只有 (A) 解出來的 x = −5/3 不是整數 → 答案 (A)。
| x | (x+3)/(x+7) | 約分 | 對應選項 |
|---|---|---|---|
| 0 | 3/7 | 3/7 | (B) ✓ |
| 2 | 5/9 | 5/9 | (C) ✓ |
| 4 | 7/11 | 7/11 | (D) ✓ |
換個角度：為什麼分母永遠比分子大 4？
檢查四個選項的「分母 − 分子」：
・(A) 1/4 → 4 − 1 = 3 ✗
・(B) 3/7 → 7 − 3 = 4 ✓
・(C) 5/9 → 9 − 5 = 4 ✓
・(D) 7/11 → 11 − 7 = 4 ✓
(A) 一眼就被刪掉了，連方程式都不用解！
這是本題最漂亮的解法：只要看出「分母比分子大 4」這個不變量， 三個選項都是差 4、只有一個差 3，答案立刻現形。
（嚴格來說還要注意約分：若原分數約分過，差就不一定是 4。 但 3/7、5/9、7/11 都已是最簡分數且差 4，直接對應成立。）
要記住的觀念
- 看到分式，第一個動作永遠是「上下都因式分解」。 分解完通常會出現可以約掉的公因式，題目瞬間變簡單。
- 十字交乘法：找兩數「相乘等於常數項、相加等於一次項係數」。 x² − 2x − 15：(−5) × 3 = −15、(−5) + 3 = −2 ✓ x² + 2x − 35：7 × (−5) = −35、7 + (−5) = 2 ✓
- 約分後要記得寫「x ≠ 5」（原本的分母不能為 0）， 非選題不寫這個常被扣分。
- 題目問「不可能」時，要找「解不出整數」的那一個。 做完四個選項後再回頭確認自己選的是哪一種，不要選反。
- 「x 為整數」是判斷的唯一標準。 四個選項都能解出 x，差別只在是不是整數。
- 找不變量是最快的解法： (x+3)/(x+7) 的分母 − 分子 = 4 恆成立， 用這個一秒刪掉 (A)。看到形如 (x+a)/(x+b) 的式子，就想想差是多少。
因式分解卡住時的小技巧
技巧一：先看常數項的正負號。
・常數項是負的（如 −15）→ 兩個因數一正一負
・常數項是正的 → 兩個因數同號（都正或都負，看一次項）
技巧二：列出常數項的所有因數配對。
−15 的配對：(1, −15)、(−1, 15)、(3, −5)、(−3, 5)
要相加等於 −2 → (3, −5) ✓
技巧三：分解完立刻展開驗算。
(x − 5)(x + 3) = x² + 3x − 5x − 15 = x² − 2x − 15 ✓
10 秒的驗算，能省下整題重做的時間。
技巧四（本題適用）：先猜有沒有公因式。
兩個式子的常數 −15 和 −35 都有因數 5，
而 15 = 5×3、35 = 5×7 → 很可能都含 (x − 5) 或 (x + 5)。
試 x = 5 代入：兩式都得 0 → 確定都含 (x − 5) ✓
類題自我檢測
1. 化簡 (x² − 4x + 3) / (x² − 1)，並說明 x 不能等於哪些數。
2. 承本題，若此分式的值為 2/3，求 x。
3. 承本題，若 x 為整數，此分式的值可不可能是 1？為什麼？
看解答
1. x² − 4x + 3 = (x−1)(x−3)
x² − 1 = (x−1)(x+1)
約掉 (x−1)：= (x − 3)/(x + 1)
x ≠ 1 且 x ≠ −1（原分母 (x−1)(x+1) 不能為 0）。
2. (x+3)/(x+7) = 2/3 → 3(x+3) = 2(x+7)
3x + 9 = 2x + 14 → x = 5
但 x = 5 會讓原式的分母為 0 ✗ 不合！
所以值不可能是 2/3。
這題提醒我們：解出來的 x 還要檢查有沒有違反 x ≠ 5。
3. 不可能。因為
(x+3)/(x+7) = 1 → x + 3 = x + 7 → 3 = 7 ✗ 矛盾
也可以用不變量看：分母永遠比分子大 4，兩者不可能相等，
所以值永遠不會是 1。
我的原始作答
紅筆訂正的答案是 (A) 1/4。
這題的解題順序建議固定成三步：
① 因式分解 → 約分，把式子變成 (x + 3)/(x + 7)
② 觀察不變量：分母 − 分子 = 4（恆成立）
③ 檢查四個選項的「分母 − 分子」，不是 4 的那個就是答案
第 ① 步是絕對必要的。沒有約分成 (x+3)/(x+7)，
就得把每個選項代進兩個二次式裡解，計算量大好幾倍，
而且很容易在展開時出錯。
如果一時沒看出不變量，就老實用代入法：
把四個選項各解一次 x，只要 4 個一元一次方程式，一分鐘可以做完：
(A) → x = −5/3 ✗ 不是整數 ← 答案
(B) → x = 0 ✓ (C) → x = 2 ✓ (D) → x = 4 ✓
最後提醒兩個容易被扣分的細節：
・約分前後都要注意 x ≠ 5（原分母不能為 0）
・題目問的是「不可能」，做完四個選項後務必再看一次題目問什麼，
不要把「可以」的選項當成答案交出去。
「分母 − 分子 = 定值」這個技巧非常實用，
往後遇到形如 (x+a)/(x+b) 的分式題，
先算 b − a，很多題目可以直接秒殺。
複習標記
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