飲料店價錢：用「找回的錢」反推出實付金額
題目
小靜在此店以 500 元買了果汁數杯後，找回 10 元； 小軒在此店以 500 元買了奶茶數杯後，找回 20 元。 若一杯果汁比一杯奶茶貴 5 元，且小靜比小軒少買 2 杯， 則購買 3 杯果汁與 5 杯奶茶共需花多少元？
- (A) 255 ← 正確答案
- (B) 265
- (C) 335 ← 我選的
- (D) 367
錯在哪裡
小靜（果汁）：500 − 10 = 490 元 小軒（奶茶）：500 − 20 = 480 元 很多人直接拿 500 去算，或忘了換算就開始設未知數。
第二個關鍵：杯數要用「總價 ÷ 單價」表示。
設奶茶一杯 x 元 → 果汁一杯 x + 5 元 奶茶杯數 = 480 / x 果汁杯數 = 490 / (x + 5) 這會產生一個「分母有未知數」的分式方程式， 看起來很可怕，但兩邊同乘分母就變成普通的二次方程式了。
第三個容易錯的地方：「小靜比小軒少買 2 杯」的方向。
小靜買果汁、小軒買奶茶，果汁的杯數比較少： 奶茶杯數 − 果汁杯數 = 2 寫反了會解出負數或不合理的答案。
（合理性檢查：果汁比較貴，錢又花得差不多，當然買得比較少 ✓）
正確解法
| 人 | 買什麼 | 付款 | 找回 | 實付 |
|---|---|---|---|---|
| 小靜 | 果汁 | 500 | 10 | 490 元 |
| 小軒 | 奶茶 | 500 | 20 | 480 元 |
設奶茶每杯 x 元，則果汁每杯 (x + 5) 元 奶茶杯數 = 480/x 果汁杯數 = 490/(x+5) 「小靜（果汁）比小軒（奶茶）少買 2 杯」： 480/x − 490/(x+5) = 2
480(x + 5) − 490x = 2x(x + 5) 480x + 2400 − 490x = 2x² + 10x −10x + 2400 = 2x² + 10x 2x² + 20x − 2400 = 0 兩邊同除以 2： x² + 10x − 1200 = 0
找兩數相乘 = −1200、相加 = 10 → 40 和 −30 (x + 40)(x − 30) = 0 x = −40 或 x = 30 價錢不能是負數 → x = 30 奶茶 30 元／杯 果汁 35 元／杯
| 項目 | 計算 | 結果 | 檢查 |
|---|---|---|---|
| 小軒買奶茶 | 480 ÷ 30 | 16 杯 | 整數 ✓ |
| 小靜買果汁 | 490 ÷ 35 | 14 杯 | 整數 ✓ |
| 杯數差 | 16 − 14 | 2 杯 | ✓ 符合題意 |
| 單價差 | 35 − 30 | 5 元 | ✓ 符合題意 |
3 杯果汁 + 5 杯奶茶 = 3 × 35 + 5 × 30 = 105 + 150 = 255（元） 答案 (A) 255。
特別注意：題目問的不是單價，而是「3 杯果汁 + 5 杯奶茶」的總價。 解出 x = 30 只是中途，別忘了最後這一步。
更快的做法：用「整除」直接猜單價
・果汁單價要整除 490：490 = 2 × 5 × 7² → 因數有 35、49、70、98…
・奶茶單價要整除 480：480 的因數有 30、32、40、48、60…
而且果汁 = 奶茶 + 5，找一組差 5 的： 35（490 的因數）與 30（480 的因數）→ 差 5 ✓ 驗證杯數：490 ÷ 35 = 14、480 ÷ 30 = 16 → 差 2 ✓ 完全符合，不用解二次方程式就找到答案。
選擇題時這個方法非常快， 但正式作答（非選題）還是要把方程式寫出來。
要記住的觀念
- 「付 500 找回 10」→ 實付 490。 購物題第一步永遠是算出實際金額，不要拿付款額去算。
- 杯數 = 總價 ÷ 單價。 單價設成未知數時，杯數就會變成分式 —— 這是分式方程式最常見的來源。
- 分式方程式的解法：兩邊同乘所有分母的乘積。 兩邊 × x(x+5) → 變成二次方程式
- 差的方向要想清楚：「A 比 B 少 2」→ B − A = 2。 可以用常識檢查：貴的東西買得少 ✓
- 解出兩根時，用「價錢必為正」刪掉負根。 x = −40 直接丟掉。
- 驗算要檢查「杯數是整數」。 490 ÷ 35 = 14、480 ÷ 30 = 16，都是整數才合理。 這也是最快的猜答案方法。
- 算完回頭看題目問什麼。 本題問的是 3 杯果汁 + 5 杯奶茶的總價，不是單價。
四個選項分別代表什麼？
| 選項 | 可能的算法 | 對嗎 |
|---|---|---|
| (A) 255 | 3 × 35 + 5 × 30 = 105 + 150 | ✓ 正確 |
| (B) 265 | 3 × 30 + 5 × 35 = 90 + 175（果汁奶茶對調） | ✗ 兩種飲料弄反 |
| (C) 335 | 單價估錯（例如果汁 45、奶茶 40） | ✗ |
| (D) 367 | 單價估錯 | ✗ |
(B) 265 是最值得警惕的陷阱：
算對了單價，卻把「3 杯果汁、5 杯奶茶」的對應搞反。
建議在草稿上把答案寫成「果汁 35、奶茶 30」並圈起來，
代入時對照著寫，就不會弄反。
類題自我檢測
1. 若小靜找回 20 元、小軒找回 10 元（其餘條件不變），單價各是多少？
2. 承本題，若買 5 杯果汁與 3 杯奶茶，共需多少元？
3. 承本題，用 500 元最多可以買幾杯果汁？找回多少？
看解答
1. 果汁實付 480、奶茶實付 490
490/x − 480/(x+5) = 2
490(x+5) − 480x = 2x(x+5)
10x + 2450 = 2x² + 10x → 2x² = 2450 → x² = 1225 → x = 35
奶茶 35 元、果汁 40 元。
驗算：490 ÷ 35 = 14 杯（奶茶）、480 ÷ 40 = 12 杯（果汁），差 2 ✓
2. 5 × 35 + 3 × 30 = 175 + 90 = 265（元）
正好是原題的陷阱選項 (B) ——可見兩者只差在杯數對調。
3. 500 ÷ 35 = 14 杯 …… 餘 10
最多買 14 杯，找回 10 元（正好就是題目中小靜的情況 ✓）。
我的原始作答
作答欄填了 (C) 335，紅筆訂正為 (A) 255。
草稿上寫著 果 = 奶 + 5、n(x + 5) = 490、(n + 2)x = 480——
你的建模完全正確！用 n 表示果汁杯數、n+2 表示奶茶杯數，
這是很漂亮的設法（比用分式更好算）。
斷點在於：兩個式子列出來之後沒有解完，
草稿停在 nx + 5x − 490 = 0 和 nx + 2x − 480 = 0 就沒有繼續。
其實你的兩個式子相減就能直接解出來：
正確的做法是從②解出 n： n = (480 − 2x) / x = 480/x − 2 再代入①： (480/x − 2)(x + 5) = 490 展開整理後同樣得到 x² + 10x − 1200 = 0 → x = 30。
更省事的做法是直接用「杯數」列一條式子： 480/x − 490/(x+5) = 2 一個未知數、一條方程式，兩邊乘 x(x+5) 就變成二次方程式，比雙未知數快。
最後強烈推薦這題的「整除法」秒解： 果汁單價要整除 490、奶茶單價要整除 480、兩者差 5 → 35 和 30，一眼就找到。 考試時先花 20 秒試這個方法，找到就省下解二次方程式的時間。
複習標記
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