拼成正方形：總面積必須是完全平方式
題目
・甲：邊長 x × x 的正方形（面積 x²）
・乙：邊長 3x × 1 的矩形（面積 3x）
・丙：邊長 1 × 1 的正方形（面積 1）
其中甲有 9 塊、乙有 a 塊、丙有 b 塊，且 1 < b < 30。 若利用這 (9 + a + b) 塊圖形，剛好可以緊密的排成一個正方形， 則 a + b 不可能是下列哪一個數？
- (A) 8
- (B) 15 ← 我選的
- (C) 24
- (D) 36 ← 正確答案（不可能）
錯在哪裡
總面積 = 9x² + 3ax + b × 1 = 9x² + 3ax + b 要能排成邊長為某個式子的正方形，這個總面積必須寫成 (3x + k)² = 9x² + 6kx + k² 比對係數： 3a = 6k → a = 2k b = k² 所以 a、b 都由同一個 k 決定，不能各自亂取。
有了這個關係，就能把每個選項檢查一次： a + b = 2k + k² 只要解出來的 k 不是正整數，那個 a + b 就「不可能」。
你選 15 的原因，可能是漏了「1 < b < 30」這個範圍限制， 或是列式後沒有把 k 一一解出來。 實際上 15 對應 k = 3（a = 6、b = 9），完全可行； 而 36 解出來的 k 不是整數，才是真正的答案。
正確解法
| 圖形 | 尺寸 | 面積 | 塊數 | 小計 |
|---|---|---|---|---|
| 甲 | x × x | x² | 9 | 9x² |
| 乙 | 3x × 1 | 3x | a | 3ax |
| 丙 | 1 × 1 | 1 | b | b |
| 合計 | — | 9x² + 3ax + b | ||
因為 9x² = (3x)²，所以正方形的邊長形如 (3x + k)： 9x² + 3ax + b = (3x + k)²= 9x² + 6kx + k² 比對兩邊： x 的係數：3a = 6k → a = 2k 常數項：b = k²
1 < b < 30 → 1 < k² < 30 k 是正整數（塊數必為正整數）： k = 2、3、4、5 （k = 1 時 b = 1，不符合 b > 1；k = 6 時 b = 36 > 30 ✗）
| k | a = 2k | b = k² | a + b | b 在 1～30 內？ | 對應選項 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 4 | 8 | ✓ | (A) ✓ 可能 |
| 3 | 6 | 9 | 15 | ✓ | (B) ✓ 可能 |
| 4 | 8 | 16 | 24 | ✓ | (C) ✓ 可能 |
| 5 | 10 | 25 | 35 | ✓ | （不在選項中） |
| 沒有任何 k 能得到 36 | 36 | — | (D) ✗ 不可能 | ||
a + b = 2k + k² = 36 k² + 2k − 36 = 0 用公式解： k = (−2 ± √(4 + 144)) / 2 = (−2 ± √148) / 2 √148 不是整數（12² = 144 < 148 < 169 = 13²）→ k 不是整數 ✗
所以 a + b = 36 不可能，答案 (D)。
用 k = 3 實際畫出來看看（a + b = 15 的情形）
總共 9 + 6 + 9 = 24 塊，剛好拼成邊長 (3x + 3) 的正方形 ✓
這個圖就是「完全平方公式」的幾何意義： (3x + 3)² = (3x)² + 2×(3x)×3 + 3² 甲提供 (3x)²、乙提供 2×(3x)×3、丙提供 3²。
要記住的觀念
- 「拼成正方形」＝「面積是完全平方式」。 這是拼圖題的翻譯關鍵，看到就直接往這個方向想。
- 完全平方公式的幾何意義： (A + B)² = A² + 2AB + B² 大正方形 = 左上正方形 + 兩塊長方形 + 右下小正方形。 甲、乙、丙三種磚就是對應這三部分。
- 比對係數是最可靠的方法： 9x² + 3ax + b = (3x + k)² → 3a = 6k 且 b = k²。
- 也可以用判別式：完全平方式 ⟺ 判別式 = 0。 (3a)² − 4 × 9 × b = 0 → 9a² = 36b → a² = 4b 結果一樣（a = 2k、b = k² 時 a² = 4k² = 4b ✓）。
- 「1 < b < 30」這種範圍條件一定要用。 它把 k 限制在 2～5，讓答案變成有限的幾個。
- 問「不可能」時，要把「所有可能」都列出來再對照。 做一張表把 k = 2、3、4、5 的 a+b 全部算出來， 沒出現在表裡的那個選項就是答案。
用判別式做一次（另一種寫法）
9x² + 3ax + b 是完全平方式 ⟺ 判別式 = 0：
D = (3a)² − 4 × 9 × b = 9a² − 36b = 0
a² = 4b → a = 2√b
a 必須是正整數 → b 必須是完全平方數。
1 < b < 30 的完全平方數：4、9、16、25
| b | a = 2√b | a + b |
|---|---|---|
| 4 | 4 | 8 ✓ |
| 9 | 6 | 15 ✓ |
| 16 | 8 | 24 ✓ |
| 25 | 10 | 35 |
可能的 a+b 只有 8、15、24、35 四種 → 36 不可能 ✓
這個方法和比對係數完全等價，用哪個都可以。
類題自我檢測
1. 若甲改成 4 塊（總面積 4x² + 3ax + b），其餘不變，a + b 有哪些可能？
2. 若條件改成 1 < b < 50，a + b 還可能是哪些數？
3. 判斷 9x² + 24x + 16 是不是完全平方式？若是，寫成平方的形式。
看解答
1. 4x² + 3ax + b = (2x + k)² = 4x² + 4kx + k²
3a = 4k、b = k²
a 要是整數 → k 必須是 3 的倍數 → k = 3（b = 9 < 30 ✓）、k = 6（b = 36 > 30 ✗）
只有 k = 3：a = 4、b = 9 → a + b = 13（唯一解）
2. 1 < k² < 50 → k = 2、3、4、5、6、7
a+b = 2k + k²：8、15、24、35、48、63
（多了 48 和 63 兩種可能。）
3. 9x² + 24x + 16
檢查：9x² = (3x)²、16 = 4²、2 × 3x × 4 = 24x ✓
= (3x + 4)²
是完全平方式。（也可用判別式：24² − 4×9×16 = 576 − 576 = 0 ✓）
我的原始作答
作答欄填了 (B) 15，紅筆訂正為 (D) 36。
草稿上寫著 9x² + 3ax + b、3a² − 36b = 0、a² − 12b = 0——
你正確地寫出了總面積，也想到要用判別式，方向完全對！
斷點在判別式的計算：
D = (3a)² − 4 × 9 × b = 9a² − 36b
你寫成了 3a²（少平方了那個 3），
所以後面整理成 a² − 12b = 0，而正確應該是
9a² − 36b = 0 → a² − 4b = 0 → a² = 4b
「(3a)² = 9a²，不是 3a²」——係數也要平方，這是最容易漏的一步。
修正之後，題目就非常好做了：
a² = 4b → b 必須是完全平方數（4、9、16、25）
對應 a = 4、6、8、10 → a + b = 8、15、24、35
36 不在裡面 → 答案 (D)
給你的兩個具體建議：
① 判別式先寫成 b² − 4ac 的原始形式，再代數字，
不要跳過括號：D = (3a)² − 4(9)(b)，把 (3a) 用括號框起來
② 解出關係後，把「所有可能」列成一張表，
再回頭對選項。問「不可能」的題目，把可能的全部找出來是最保險的做法。
這題你已經掌握了最難的觀念（拼正方形 = 完全平方式），
只差一個平方運算的細節，非常可惜也非常值得修正。
複習標記
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