啦啦隊題組：加 9 人變正方形，就是配方法
題目
【第 24 題】設瑜申大學啦啦隊排成長方形隊形時，每一直排有 x 人， 若之後該啦啦隊加入 9 人，隊形由長方形變為正方形， 則此時正方形隊形的每一橫排有多少人？
【第 25 題】承 24 題，瑜申大學啦啦隊再次變換隊形，所有隊員分成人數相同的若干小隊後， 各小隊分別組成「底部」並將一位隊員高舉到空中執行動作。 若所分成的小隊總隊數恰為每小隊「底部」人數的 3 倍， 則當 x = 3 時，共有幾位隊員在空中執行動作？
第 24 題
- (A) x + 3 ← 正確答案（我也選這個 ✓）
- (B) x + 4
- (C) x + 5
- (D) x + 6
第 25 題
- (A) 5
- (B) 6 ← 我選的
- (C) 8
- (D) 9 ← 正確答案
錯在哪裡
第 25 題的關鍵，是把三句話都翻成式子：
① 每小隊人數 = 底部人數 + 1（因為有一人被高舉到空中）
② 小隊數 = 底部人數 × 3
③ 小隊數 × 每小隊人數 = 總人數
最容易漏的是第 ① 條： 每小隊除了底部的人，還有一個在空中的人， 所以每小隊人數要比底部人數多 1，不是等於底部人數。
另外要注意題目問的是「幾位隊員在空中」—— 每小隊只有 1 人在空中，所以答案就等於小隊數， 不是底部人數，也不是每小隊人數。
正確解法
第 24 題
每一直排 x 人、每一橫排比直排多 6 人 → 橫排 (x + 6) 人： 原本總人數 = x(x + 6) = x² + 6x
x² + 6x + 9 = (x + 3)² 剛好是完全平方式！所以能排成邊長 (x + 3) 的正方形。 正方形每一橫排 = x + 3（人） 答案 (A)。
為什麼「加 9」剛好可以？
因為 (x + 3)² = x² + 6x + 9
而原本是 x² + 6x，差的正是 9。
這也是配方法的原理：一次項係數的一半再平方
（6 ÷ 2 = 3，3² = 9）就是要補的數。
命題老師是先想好答案 (x+3)²，再倒推出「多 6 人」和「加 9 人」這兩個條件的。
看到「加 n 人變正方形」，就要立刻想到配方法。
第 25 題
由第 24 題，加入 9 人後是邊長 (x + 3) 的正方形： 總人數 = (x + 3)² = (3 + 3)² = 6² = 36（人） （驗算：原本 3 × 9 = 27 人，加 9 人 = 36 人 ✓）
設每小隊「底部」有 p 人 ・每小隊人數 = 底部 p 人 + 空中 1 人 = (p + 1) 人
・小隊總數 = 底部人數的 3 倍 = 3p 隊
・全部隊員： 3p × (p + 1) = 36
3p(p + 1) = 36 p(p + 1) = 12 p² + p − 12 = 0 (p + 4)(p − 3) = 0 p = 3（p = −4 不合，人數為正）
小隊總數 = 3p = 3 × 3 = 9 隊
每小隊有 1 人在空中 → 空中共有 9 人。 答案 (D) 9。
驗算：把答案代回去檢查
| 項目 | 數值 | 檢查 |
|---|---|---|
| 底部人數 p | 3 人 | — |
| 每小隊人數 | 3 + 1 = 4 人 | 底部 3 ＋ 空中 1 ✓ |
| 小隊總數 | 9 隊 | 9 = 3 × 3 ✓ 是底部人數的 3 倍 |
| 總人數 | 9 × 4 = 36 人 | ✓ 和 (3+3)² = 36 相符 |
| 空中人數 | 9 人 | 每隊 1 人 × 9 隊 ✓ |
如果漏掉「+1」會怎樣？（選項 (B) 6 的由來）
「+1」這一個字，是整題最關鍵的細節。 讀到「將一位隊員高舉到空中」時， 就要立刻在草稿上寫下「每隊人數 = 底部 + 1」。
要記住的觀念
- 「加 n 人剛好排成正方形」＝ 配方法。 x² + 6x + 9 = (x + 3)² 要補的數 = 一次項係數的一半再平方。
- 「橫排比直排多 6 人」→ 總人數 = x(x + 6)。 方陣問題的總人數 = 直排人數 × 橫排人數。
- 把每一句話翻成一個式子，一句都不能漏。 本題有三句：每隊人數、小隊數、總人數， 漏掉任何一句都解不出來。
- 「將一位隊員高舉到空中」→ 每小隊人數 = 底部 + 1。 這是最容易漏的一個 +1。
- 算完要看題目問什麼。 本題問「空中有幾人」= 小隊數（每隊 1 人）， 不是底部人數 3，也不是每隊人數 4。
- 題組的第 2 小題一定要先用第 1 小題的結果。 先算出 x = 3 時總人數 = 36，才有辦法往下做。
不設未知數的做法：直接把 36 拆成兩數相乘
設小隊數 = m、每小隊人數 = n，則
m × n = 36
而且底部人數 = n − 1，條件是 m = 3(n − 1)。
把 36 的因數配對一組一組試：
| 小隊數 m | 每隊人數 n | 底部 n−1 | 3(n−1) | = m 嗎 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 18 | 17 | 51 | ✗ |
| 3 | 12 | 11 | 33 | ✗ |
| 4 | 9 | 8 | 24 | ✗ |
| 6 | 6 | 5 | 15 | ✗ |
| 9 | 4 | 3 | 9 | ✓ |
| 12 | 3 | 2 | 6 | ✗ |
只有 m = 9、n = 4 符合 → 空中 9 人 ✓
當總數不大時（36 只有 9 個因數），列表法既快又不會錯，
是考試時很好用的備案。
類題自我檢測
1. 若 x = 5，總人數是多少？此時空中有幾人？
2. 若某方陣加入 16 人後變成正方形，且橫排比直排多 8 人，原本直排有幾人？（用 x 表示邊長）
3. 若小隊總數恰為底部人數的 2 倍，且總人數 36 人，空中有幾人？
看解答
1. 總人數 = (5 + 3)² = 64 人
3p(p + 1) = 64 → p(p+1) = 64/3
不是整數 → 無解，代表 x = 5 時無法照這個規則分隊。
（這說明 x = 3 是命題老師特地挑的漂亮數字。）
2. 總人數 = x(x + 8)，加 16 人：
x² + 8x + 16 = (x + 4)²
正方形邊長 x + 4。（8 ÷ 2 = 4，4² = 16 ✓ 完全符合配方法。）
3. 2p × (p + 1) = 36 → p(p+1) = 18
p² + p − 18 = 0 → p = (−1 ± √73)/2
不是整數 → 無解。
可見「3 倍」這個條件也是精心設計的，
換成別的倍數多半解不出整數。
我的原始作答
第 24 題填了 (A)，完全正確！
這代表你已經掌握了「x(x+6) + 9 = (x+3)²」的配方觀念——
這是這個題組最核心的部分。
第 25 題填了 (B) 6，紅筆訂正為 (D) 9。
第 25 題的敘述很長，建議用「一句一式」的方式拆解：
| 題目的話 | 翻成式子 |
|---|---|
| x = 3 時的總人數 | (3 + 3)² = 36 |
| 分成人數相同的若干小隊 | 小隊數 × 每隊人數 = 36 |
| 將一位隊員高舉到空中 | 每隊人數 = 底部 p + 1 |
| 小隊數恰為底部人數的 3 倍 | 小隊數 = 3p |
| 合起來 | 3p(p + 1) = 36 |
兩個特別提醒：
① 「一位隊員高舉到空中」= 每隊要多算 1 人。 這種藏在情境描述裡的 +1 最容易漏， 讀題時看到「一位」「一個」「另外」這些字就要停下來想一下。
② 答案問的是「空中有幾人」。 解出 p = 3 只是底部人數，還要再算小隊數 3p = 9 才是答案。 解完方程式後，一定要回頭確認題目問的是哪個量。
如果考試時列式卡住，可以改用「列表法」： 把 36 拆成兩數相乘（1×36、2×18、3×12、4×9、6×6…）， 逐組檢查「小隊數是否為 (每隊人數 − 1) 的 3 倍」， 36 的因數不多，一分鐘就能試完。
複習標記
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