廚藝競賽試吃：144 個盤子是「參賽者 × 評審」
題目
(1) 假設此場競賽中有 x 位評審，請以 x 表示參賽者的人數。
(2) 若所有評審總共試吃了 144 個小盤子中的料理， 則參賽者與評審人數相差多少人？請寫出完整的計算過程。
錯在哪裡
要先想清楚 144 這個數字是怎麼產生的：
・每位參賽者都要準備盤子
・給每位評審一盤
所以一位參賽者要準備 x 盤（x = 評審人數）， 總盤數 = 參賽者人數 × 評審人數： (3x − 6) × x = 144 這是一個二次方程式，不是除法。
如果先做 144 ÷ 3 = 48，再令 3x − 6 = 48 → x = 18， 會得到「評審 18 人、參賽者 48 人、相差 30 人」—— 但這樣代回去檢查就會發現：48 × 18 = 864 ≠ 144 ✗
防範方法：先問「144 是誰乘誰」。 看到「每個 A 都給每個 B 一份」，總數就是 A × B（乘法原理）， 不會是加法，也不會是除法。
正確解法
第 (1) 小題
評審 = x 位 參賽者 = 3x − 6（位） 「3 倍少 6」→ 先乘 3 再減 6，順序不能顛倒 （若寫成 3(x − 6) 就變成「少 6 人之後的 3 倍」，意思完全不同）。
第 (2) 小題
每位參賽者做一道料理，分成小盤，每位評審拿到一盤 → 一位參賽者要準備 x 盤。
共有 (3x − 6) 位參賽者： 總盤數 = (3x − 6) × x = 144
3x² − 6x = 144 兩邊同除以 3： x² − 2x = 48 x² − 2x − 48 = 0 先除以 3 再解，數字小很多、也比較不會算錯。
找兩數相乘 = −48、相加 = −2 → −8 和 6 (x − 8)(x + 6) = 0 x = 8 或 x = −6 人數不能是負數 → x = 8
評審 = 8（位） 參賽者 = 3 × 8 − 6 = 18（位） 相差 = 18 − 8 = 10（人） 答：相差 10 人。
驗算
| 項目 | 計算 | 結果 | 檢查 |
|---|---|---|---|
| 評審人數 | x | 8 位 | — |
| 參賽者人數 | 3 × 8 − 6 | 18 位 | 是 8 的 3 倍少 6 ✓ |
| 總盤數 | 18 × 8 | 144 盤 | ✓ 符合題意 |
| 人數差 | 18 − 8 | 10 人 | — |
另一種想法：把 144 拆成兩數相乘
把 144 的因數配對列出來，逐組檢查：
| 評審 x | 參賽者 144 ÷ x | 3x − 6 | 相符嗎 |
|---|---|---|---|
| 4 | 36 | 6 | ✗ |
| 6 | 24 | 12 | ✗ |
| 8 | 18 | 18 | ✓ |
| 9 | 16 | 21 | ✗ |
| 12 | 12 | 30 | ✗ |
要記住的觀念
- 「每個 A 都給每個 B 一份」→ 總份數 = A × B（乘法原理）。 這是本題的核心，看懂這句話整題就通了。
- 「3 倍少 6」= 3x − 6，不是 3(x − 6)。 先乘再減，順序照著中文的順序寫。
- 列完方程式先化簡再解。 3x² − 6x = 144 兩邊除以 3 → x² − 2x − 48 = 0，數字小很多。
- 解出兩根時，用「人數必為正整數」刪掉負根。
- 算完要看題目問什麼。 本題問的是「相差多少人」，不是評審人數（8），也不是參賽者人數（18）。
- 驗算的黃金標準：把答案代回原始情境。 18 × 8 = 144 ✓ —— 如果代回去對不上，就一定是列式錯了。
怎麼判斷「總數」該用乘法還是加法？
問自己：每一個 A，是不是都要對每一個 B 做一次？
・是 → 用乘法（乘法原理）
例：每位參賽者給每位評審一盤 → 參賽者 × 評審
例：3 件上衣配 4 條褲子 → 3 × 4 = 12 種穿法
・否（各自獨立、只算一次）→ 用加法
例：男生 18 人、女生 8 人，共 18 + 8 = 26 人
本題的關鍵句是「給每位評審一盤」——
有「每位」兩個字，就是乘法。
檢查小技巧：用小數字試想。
如果只有 2 位參賽者、3 位評審，會有幾盤？
→ 每位參賽者準備 3 盤 → 2 × 3 = 6 盤 ✓ 乘法無誤。
類題自我檢測
1. 若評審總共試吃了 60 個盤子，則評審與參賽者各有幾人？
2. 若參賽者人數是評審人數的 2 倍多 3 人，且總盤數為 90，求兩者人數。
3. 承本題（評審 8 位、參賽者 18 位），若改成每位評審每道料理試吃兩盤，總盤數是多少？
看解答
1. (3x − 6)x = 60 → 3x² − 6x − 60 = 0 → x² − 2x − 20 = 0
x = (2 ± √(4+80))/2 = 1 ± √21
不是整數 → 無解（60 盤的情況不存在）。
這說明 144 是命題老師挑好的數字。
2. (2x + 3)x = 90 → 2x² + 3x − 90 = 0
(2x + 15)(x − 6) = 0 → x = 6
評審 6 位、參賽者 2×6+3 = 15 位。驗算：15 × 6 = 90 ✓
3. 18 × 8 × 2 = 288（盤）
每位評審拿兩盤，總數就變成兩倍。
我的原始作答
卷面上：
(1) 寫了 3x − 6 人 ——完全正確 ✓
(2) 寫了 144 ÷ 3 = 48、3x − 6 = 48、3x = 54、x = 18、48 − 18 = 30
第 (1) 小題你答對了，代表「3 倍少 6」的翻譯沒問題。
第 (2) 小題的斷點在第一個動作「144 ÷ 3」：
這個 3 是「參賽者是評審的 3 倍」裡的 3，
和盤子的分配沒有任何關係，不能拿來除 144。
正確的第一個動作應該是問：「144 盤是怎麼來的？」
→ 每位參賽者 × 每位評審各一盤
→ 總盤數 = 參賽者 × 評審 = (3x − 6) × x
→ 所以 (3x − 6)x = 144，這是一個二次方程式
給你的具體建議：列式後立刻代回檢查。
你的答案是「評審 18 人、參賽者 48 人」，
代回題目算總盤數：48 × 18 = 864，
和題目給的 144 差很多 ——
只要做這一次檢查，馬上就會發現列式的方向錯了。
非選題的完整寫法建議：
(1) 參賽者人數 = 3x − 6（人）
(2) 每位參賽者需給每位評審一盤，故總盤數 = 參賽者 × 評審
(3x − 6) · x = 144
3x² − 6x − 144 = 0 → x² − 2x − 48 = 0
(x − 8)(x + 6) = 0 → x = 8（x = −6 不合，人數為正）
評審 8 人、參賽者 3(8) − 6 = 18 人
相差 18 − 8 = 10（人）
「(3x−6)·x = 144」這一行是最主要的給分點，
只要把它寫對，後面就算算錯也能拿到大部分分數。
複習標記
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