五個連續整數：把「中間那個」設成 n 最省力
題目
錯在哪裡
設法 A（不推薦）：設最小的為 n n、n+1、n+2、n+3、n+4 式子會變成 n² + (n+1)² + (n+2)² = (n+3)² + (n+4)² 要展開五個平方，數字又多又亂，很容易算錯。
設法 B（推薦）：設中間的為 n n−2、n−1、n、n+1、n+2 正負對稱，展開時很多項會互相抵消， 而且平方的常數項只有 4、1、0、1、4 這些小數字。
「連續整數把中間設成 n」是一個非常重要的技巧， 在連續整數的和、平均、平方和題目裡都能大幅減少計算量。
另外要注意：這題不能靠猜。 雖然答案 10～14 不算大，但如果沒有列式， 要從 1 開始一組一組試會非常花時間。
正確解法
5 個連續正整數由小到大： a = n−2，b = n−1，c = n，d = n+1，e = n+2
(n−2)² + (n−1)² + n² = (n+1)² + (n+2)²
左邊： (n² − 4n + 4) + (n² − 2n + 1) + n² = 3n² − 6n + 5 右邊： (n² + 2n + 1) + (n² + 4n + 4) = 2n² + 6n + 5 注意兩邊的常數項都是 5，等一下會直接消掉。
3n² − 6n + 5 = 2n² + 6n + 5 兩邊減去 (2n² + 6n + 5)： n² − 12n = 0 n(n − 12) = 0 n = 0 或 n = 12
若 n = 0，五個數會是 −2、−1、0、1、2，不是正整數 ✗
所以 n = 12： a、b、c、d、e = 10、11、12、13、14
左邊 = 10² + 11² + 12² = 100 + 121 + 144 = 365 右邊 = 13² + 14² = 169 + 196 = 365 兩邊相等 ✓ 答：這 5 個正整數為 10、11、12、13、14。
比較兩種設法的計算量
| 設最小的為 n | 設中間的為 n（推薦） | |
|---|---|---|
| 五個數 | n, n+1, n+2, n+3, n+4 | n−2, n−1, n, n+1, n+2 |
| 左邊展開 | 3n² + 6n + 5 | 3n² − 6n + 5 |
| 右邊展開 | 2n² + 14n + 25 | 2n² + 6n + 5 |
| 整理後 | n² − 8n − 20 = 0 | n² − 12n = 0 |
| 解 | (n−10)(n+2) = 0 → n = 10 | n(n−12) = 0 → n = 12 |
| 答案 | 10～14 ✓（一樣） | 10～14 ✓ |
兩種都能做出來，但右邊那欄的常數項全部消掉了（5 = 5）， 整理後直接是 n² − 12n = 0，連因式分解都不用想，提出 n 就解完了。
要記住的觀念
- 連續整數題：把「中間那個」設為 n。 3 個連續：n−1, n, n+1；5 個連續：n−2, n−1, n, n+1, n+2。 正負對稱，計算量大幅下降。
- 連續偶數／奇數：中間設 n，兩側 ±2。 例如 3 個連續偶數：n−2, n, n+2。
- 展開平方要用完全平方公式： (n − 2)² = n² − 4n + 4 (n + 2)² = n² + 4n + 4 常數項是「後面那個數的平方」，不要漏。
- 移項後先看能不能提公因式。 n² − 12n = 0 → n(n − 12) = 0，比硬用公式解快得多。
- n = 0 這個根不能忘記檢查。 提公因式得到的方程式一定有 n = 0 這個根， 要用「正整數」這個條件把它刪掉。
- 非選題最後一定要驗算並寫出答案。 寫上「100 + 121 + 144 = 365 = 169 + 196」， 閱卷老師一眼就看到你檢查過了。
這組數字有什麼特別？（畢氏數的延伸）
3² + 4² = 5²（大家都知道的畢氏數）
10² + 11² + 12² = 13² + 14²（本題）
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
這是一個有名的數列規律！每一組的中間數分別是 4、12、24、40……
差：8、12、16……（等差）
這類「連續平方和相等」的組合在數學上稱為
Lucas 恆等式的一種形式。
不用背，但知道它有規律會覺得這題的答案「很漂亮不是巧合」——
命題老師選 10～14 這組，就是因為它是這個家族裡最小的五連續數版本。
類題自我檢測
1. 有 3 個連續正整數，滿足 a² + b² = c² + 20，求這三個數。
2. 有 5 個連續正整數，其和為 60，求這五個數。
3. 有 3 個連續正整數，最大數的平方等於另外兩數的平方和，求這三個數。
看解答
1. 設 n−1, n, n+1：
(n−1)² + n² = (n+1)² + 20
n² − 2n + 1 + n² = n² + 2n + 1 + 20
n² − 4n − 20 = 0 → n = (4 ± √96)/2
不是整數 → 無解。
2. 設中間為 n，五數和 =
(n−2)+(n−1)+n+(n+1)+(n+2) = 5n = 60 → n = 12
五個數：10、11、12、13、14。
看出重點了嗎？「五個連續數的和 = 5 × 中間數」——
這就是設中間為 n 的威力，前後剛好抵消。
3. 設 n−1, n, n+1：
(n+1)² = (n−1)² + n²
n² + 2n + 1 = n² − 2n + 1 + n²
n² − 4n = 0 → n(n − 4) = 0 → n = 4
三個數：3、4、5（3² + 4² = 5² ✓ 就是畢氏數！）
我的原始作答
卷面上寫了 10² + 11² + 12² = 13² + 14²，答案完全正確 ✓
但這是非選題，「請完整寫出計算過程」——
只寫出答案而沒有推導過程，通常只能拿到很少的分數，
因為閱卷老師無法判斷你是算出來的還是試出來的。
建議的完整寫法（四個得分點）：
① 設未知數：設這 5 個連續正整數的中間數為 n，
則五數為 n−2、n−1、n、n+1、n+2
② 列式：
(n−2)² + (n−1)² + n² = (n+1)² + (n+2)²
③ 展開求解：
左 = 3n² − 6n + 5、右 = 2n² + 6n + 5
→ n² − 12n = 0 → n(n − 12) = 0 → n = 0 或 12
因為是正整數，n = 0 不合，故 n = 12 ← 這句話一定要寫
④ 寫出答案並驗算：
五數為 10、11、12、13、14
驗算：100 + 121 + 144 = 365 = 169 + 196 ✓
核心技巧再強調一次：連續整數一律把「中間那個」設成 n。
這一個選擇就讓兩邊的常數項都變成 5、互相抵消，
整理後只剩 n² − 12n = 0，提出 n 就解完了——
比設最小的為 n 少掉一半的計算，也少一半算錯的機會。
複習標記
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