重疊的地方被算了兩次，所以灰色部分要扣兩份
題目
如圖(八)，一圖騰上有四個相等的大正方形交疊出四個相等的小正方形（灰色部分）。
已知大正方形的邊長為 x 公分，小正方形的邊長為 4 公分，
且斜線部分的面積為 196 平方公分，則 x ＝ ？
- (A) 9 ← 正確答案
- (B) 14
- (C) √65
- (D) √113
正確答案：(A) 94x² − 2×64 ＝ 196 → x² ＝ 81
（原圖只拍到紅筆訂正的正解，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）
錯在哪裡
關鍵觀念：每一個灰色小正方形，都是「兩個大正方形重疊」的地方。
所以當你把四個大正方形的面積直接相加（4x²）時， 每一塊灰色都被算了兩次： 4x² ＝ 斜線部分 ＋ 灰色部分 × 2 灰色部分共 4 個小正方形，每個面積 4² ＝ 16， 灰色總面積 ＝ 4 × 16 ＝ 64 因此 斜線部分 ＝ 4x² − 64 × 2 ＝ 4x² − 128 最容易錯的地方，就是只扣一次 64（少扣一份），算出 x ＝ √65（選項 C）。
另一個常見錯法是選 (B) 14：直接把 196 開根號當成邊長。 但 196 是「斜線部分」的面積，不是任何一個正方形的面積， 不能直接開方。 （14² ＝ 196，出題者就是故意放這個數字來引誘你。 看到一個完全平方數，先問「它是誰的面積」，再決定要不要開根號。）
所以當你把四個大正方形的面積直接相加（4x²）時， 每一塊灰色都被算了兩次： 4x² ＝ 斜線部分 ＋ 灰色部分 × 2 灰色部分共 4 個小正方形，每個面積 4² ＝ 16， 灰色總面積 ＝ 4 × 16 ＝ 64 因此 斜線部分 ＝ 4x² − 64 × 2 ＝ 4x² − 128 最容易錯的地方，就是只扣一次 64（少扣一份），算出 x ＝ √65（選項 C）。
另一個常見錯法是選 (B) 14：直接把 196 開根號當成邊長。 但 196 是「斜線部分」的面積，不是任何一個正方形的面積， 不能直接開方。 （14² ＝ 196，出題者就是故意放這個數字來引誘你。 看到一個完全平方數，先問「它是誰的面積」，再決定要不要開根號。）
正確解法
Step 1 先把圖形拆成兩種區域
四個大正方形＝
斜線部分（沒被重疊）＋
灰色部分（被兩個大正方形共用）
但「四個大正方形的面積和 4x²」會把灰色的每一塊都數到兩次，
因為每一塊灰色同時屬於兩個大正方形。
Step 2 列式
4x² ＝ （斜線面積） ＋ 2 × （灰色面積） 4x² ＝ 196 ＋ 2 × 64 4x² ＝ 196 ＋ 128 ＝ 324
4x² ＝ （斜線面積） ＋ 2 × （灰色面積） 4x² ＝ 196 ＋ 2 × 64 4x² ＝ 196 ＋ 128 ＝ 324
Step 3 解出 x
x² ＝ 324 ÷ 4 ＝ 81 x ＝ ±9，但 x 是邊長 → x ＝ 9 答案 (A)。 邊長、長度、人數、個數一律取正——這是一元二次方程式應用題的固定收尾動作。
x² ＝ 324 ÷ 4 ＝ 81 x ＝ ±9，但 x 是邊長 → x ＝ 9 答案 (A)。 邊長、長度、人數、個數一律取正——這是一元二次方程式應用題的固定收尾動作。
Step 4 驗算（把數字代回去確認）
大正方形面積 ＝ 9² ＝ 81，四個共 324 灰色 4 塊共 64，被算了兩次 → 扣掉 128 324 − 128 ＝ 196 ✓ 與題目相符 順便檢查合理性：小正方形邊長 4 < 大正方形邊長 9，重疊區比大正方形小，合理。 若算出 x ＝ √65 ≈ 8.06 也還算合理，所以這題不能靠「感覺」檢查，一定要驗算。
大正方形面積 ＝ 9² ＝ 81，四個共 324 灰色 4 塊共 64，被算了兩次 → 扣掉 128 324 − 128 ＝ 196 ✓ 與題目相符 順便檢查合理性：小正方形邊長 4 < 大正方形邊長 9，重疊區比大正方形小，合理。 若算出 x ＝ √65 ≈ 8.06 也還算合理，所以這題不能靠「感覺」檢查，一定要驗算。
Step 5 把四個選項的來源看清楚
四個選項差別全在「灰色部分要扣幾份」——這題百分之百在考重疊。
| 選項 | 怎麼算出來的 | 錯在哪 |
|---|---|---|
| (A) 9 | 4x² ＝ 196 ＋ 2×64 | 正確 |
| (B) 14 | √196 | 把「斜線面積」當成正方形面積直接開方 |
| (C) √65 | 4x² ＝ 196 ＋ 64 | 灰色只扣一次，忘了它被算兩次 |
| (D) √113 | 4x² ＝ 196 ＋ 256 | 小正方形的面積算錯（把 16 當成 64） |
要記住的觀念
- 重疊圖形的黃金公式（容斥原理的雛形）： 各部分面積相加 ＝ 聯集面積 ＋ 重疊面積（重疊幾次就多算幾次） 兩個圖形重疊：A ＋ B ＝ 聯集 ＋ 重疊 看到「交疊」「重疊」「共用」，先問：這塊被算了幾次？
- 本題的三種面積要分清楚： 4x²＝四個大正方形「分開」的總面積（灰色算兩次） 4x² − 64＝整個圖騰實際佔的面積（灰色算一次） 4x² − 128＝斜線部分（灰色完全不算） 題目問哪一種，就用哪一個式子。
- 看到完全平方數（196、144、121、100…）先別急著開根號。 先問「這個數字是誰的面積」——本題的 196 是斜線部分， 不是正方形，所以 √196 沒有意義。
- 解出 x² 之後，一定要做兩件事： ① 開根號時寫上 ±；② 用題意刪掉負根（長度不能是負的）。 這兩步各佔配分，非選題漏掉會扣分。
- 面積題的固定收尾：把答案代回原圖驗算一次。 本題代回去只要算「324 − 128 ＝ 196」，十秒就能確認， 卻能同時擋掉 (B)(C)(D) 三個陷阱。
類題自我檢測
三個相等的正方形排成一列，相鄰兩個各重疊出一個邊長 2 的小正方形（共兩塊重疊）。
若三個正方形的邊長為 a，且整個圖形實際覆蓋的面積為 67，則 a² ＝ ？
(A) 25 (B) 23 (C) 27 (D) 75
看解答
(A) 25。
重疊區共 2 塊，每塊面積 2² ＝ 4，合計 8。
3a² ＝ 覆蓋面積 ＋ 重疊面積 ＝ 67 ＋ 8 ＝ 75 → a² ＝ 25
注意這題問的是「實際覆蓋的面積」（重疊算一次），所以只加一份 8；
如果問的是「沒有重疊到的部分」，就要加兩份（3a² − 16 ＝ …）。
(D) 75 就是忘了除以 3 的答案。問哪一種面積，決定要扣幾份——這是本題型的唯一考點。
我的原始作答
這一份的作答欄沒有拍進畫面，不過本題的複習重點很明確：
建議固定動作①：在圖上把「灰色」與「斜線」各塗一種記號，並在旁邊寫下
「灰色被算 2 次」。
建議固定動作②：列式時先寫「4x² ＝ 斜線 ＋ 2×灰色」這個骨架，再填數字。
骨架寫對，數字就不會放錯位置。
建議固定動作③：算完代回去驗算一次——本題只要算 324 − 128 ＝ 196，
十秒鐘就能確定自己扣對了份數。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。
還沒標記