錯題解析

配方法的第一步永遠是「把 x² 的係數變成 1」

數學．第 3 冊．2026/08/06．第 20 題　|　主題：一元二次方程式．配方法

題目

將一元二次方程式 2x² − 8x + 3 ＝ 0 配方成 (x + a)² ＝ b 的形式， 其中 a、b 為兩數，則 a + 2b 之值為何？
  1. (A) 0
  2. (B) 3　←　正確答案
  3. (C) 7
  4. (D) 9
正確答案：(B) 3(x − 2)² ＝ 5/2　→　a ＝ −2、b ＝ 5/2
題目原文

（原圖只拍到紅筆訂正的正解與計算過程，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

原圖上留下的計算是「2x² − 8x + 4 ＝ 1」——問題就出在這一步。
這一步的想法是「補上一個常數湊成完全平方」，方向沒錯， 但是漏掉了最前面的係數 2。

題目要配成的形式是 (x + a)² ＝ b，前面沒有係數。 所以第一件事一定是把 x² 的係數變成 1，也就是整條式子先除以 2： 2x² − 8x + 3 ＝ 0　→　x² − 4x + 3/2 ＝ 0 如果不先除，直接在 2x² − 8x 後面加常數，加的量會被外面的 2 放大。 看清楚差別： 2x² − 8x ＝ 2(x² − 4x)，要湊成 2(x − 2)² 必須補上 2 × 4 ＝ 8，不是 4 2x² − 8x + 8 ＝ 2(x − 2)²　（正確） 2x² − 8x + 4 ＝ 2(x − 2)² − 4　（少補了 4） 「括號外面有係數時，補進去的常數要乘上那個係數」——這就是本題唯一的考點。

另一個常見錯誤：算完 a、b 後直接寫成 a + b 或忘記 a 是負的。 配方後的括號是 (x − 2)²，對照 (x + a)² 可知 a ＝ −2（不是 +2）。

正確解法

Step 1　把 x² 的係數化為 1（整條除以 2）
2x² − 8x + 3 ＝ 0 x² − 4x + 3⁄2 ＝ 0 因為要配成 (x + a)²，括號前面不能有係數，所以這一步不能跳過。
Step 2　常數項移到等號右邊
x² − 4x ＝ −3⁄2
Step 3　兩邊同加「一次項係數一半的平方」
一次項係數是 −4，一半是 −2，平方是 4： x² − 4x ＋ 4 ＝ −3⁄2 ＋ 4 (x − 2)² ＝ 5⁄2 注意：兩邊都要加，等號才成立。
Step 4　對照 (x + a)² ＝ b，讀出 a 與 b
(x − 2)² ＝ 5⁄2　　vs　　(x + a)² ＝ b a ＝ −2　、　b ＝ 5/2 a + 2b ＝ −2 + 2 × 5⁄2 ＝ −2 + 5 ＝ 3 答案 (B)。 對照時要連正負號一起看：括號裡是「減 2」， 而標準式是「加 a」，所以 a ＝ −2。 這是本題第二個扣分點。
Step 5　驗算（把 a、b 代回去展開）
(x − 2)² ＝ 5⁄2　→　x² − 4x + 4 ＝ 5⁄2 →　x² − 4x + 3⁄2 ＝ 0 兩邊乘 2：2x² − 8x + 3 ＝ 0 ✓ 與原式相同 配方題一定要展開驗算，這是最快也最可靠的檢查方式。

要記住的觀念

  • 配方法的四個固定步驟（順序不能亂）： ① 把 x² 的係數化為 1（整條除以 a） ② 常數項移到右邊 ③ 兩邊同加「一次項係數的一半的平方」 ④ 左邊寫成完全平方，右邊合併 第 ① 步是本題唯一的關卡，也是最常被跳過的一步。
  • 括號外有係數時，補的常數要跟著乘： 2(x² − 4x) → 要補 2 × 4 ＝ 8，不是 4 3(x² + 2x) → 要補 3 × 1 ＝ 3，不是 1 安全做法：先除以係數，就完全不會遇到這個問題。
  • 完全平方公式要能雙向使用： x² + 2kx + k² ＝ (x + k)²　　x² − 2kx + k² ＝ (x − k)² 看到 x² − 4x，立刻想到「一半是 2、平方是 4」。
  • 對照係數時，正負號要一起搬： (x − 2)² 對應 (x + a)² 時，a ＝ −2。 凡是題目寫「(x + a)²」而你配出來是減號，a 一定是負數。
  • 配方法的用途不只解方程式： ① 解一元二次方程式（推導出公式解） ② 求二次函數的頂點與最大／最小值 ③ 證明某個式子恆正或恆負。 第 4 冊之後會一直用到，這一題的四個步驟要練到不用想。

類題自我檢測

將 3x² + 12x − 2 ＝ 0 配方成 (x + a)² ＝ b 的形式，則 a + b ＝ ？
(A) 20⁄3　(B) 8　(C) 14⁄3　(D) 2⁄3

看解答

(A) 20/3。
① 先除以 3：x² + 4x − 2⁄3 ＝ 0 ② 移項：x² + 4x ＝ 2⁄3 ③ 兩邊同加 (4 ÷ 2)² ＝ 4：x² + 4x + 4 ＝ 2⁄3 + 4 ＝ 14⁄3 ④ (x + 2)² ＝ 14⁄3　→　a ＝ 2、b ＝ 14⁄3 a + b ＝ 2 + 14⁄3 ＝ 20⁄3 三個陷阱選項的來源：
(B) 8 ＝ 忘了先除以 3，直接把 3x² + 12x ＝ 2 當成 (x+2)² ＝ 2 + 4 ＝ 6，得 2 + 6；
(C) 14/3 ＝ 只寫了 b，忘了加 a；
(D) 2/3 ＝ 右邊忘了加 4。
三個錯誤各對應一個被跳過的步驟——四步照順序做，就不會中招。

我的原始作答

原始作答

原圖上寫的「2x² − 8x + 4 ＝ 1」清楚地指出斷點： 沒有先把二次項係數化為 1，就直接補常數， 結果補的量少了一半（應該補 8，只補了 4）。
建議固定動作：看到「配方成 (x + a)² ＝ b」，第一筆就寫「兩邊同除以（二次項係數）」。 把這一步當成反射動作，後面就不會出錯。
第二個要養成的習慣：算出 a、b 之後展開驗算一次， 本題只要把 (x − 2)² ＝ 5/2 展開再乘 2，就能立刻確認回到原式。

複習標記

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