錯題解析

兩根已經給你了，用「根與係數」三行就解完——不必去湊公式

數學．第 3 冊．2026/08/09．第 09 題　|　主題：一元二次方程式．根與係數關係（和＝ −b/a、積＝ c/a）

題目

若一元二次方程式 4x² − ax + b = 0 的兩根為 (3 ± √6) ⁄ 2，其中 a、b 為兩數，則 a + b 之值為何？

(A) −9
(B) 3
(C) 9
(D) 15　←　正確答案

正確答案：(D)兩根和＝ 3 ＝ a/4 → a ＝ 12；兩根積＝ 3/4 ＝ b/4 → b ＝ 3；a+b ＝ 15

錯在哪裡

原圖上的計算是「9 − 4×4×b ＝ 6」→「9 − 16b ＝ 6」→「16b ＝ 3」。 這一行代表：把 a 當成 3、把根號裡的 6 當成判別式。 兩件事都對不上。

問題出在「沒有把公式解的分母對齊」。 公式解長這樣： x ＝ ( −B ± √(B²−4AC) ) ⁄ 2A　，本題 A ＝ 4 → 分母是 2×4 ＝ 8 但題目給的兩根分母是 2，不是 8。 (3 ± √6) ⁄ 2 ＝ (12 ± 4√6) ⁄ 8　←　要先擴分成分母 8 才能比對 沒有做這一步，就會直接把「3」當成 a、把「6」當成判別式，於是整條算式都歪掉。

但更關鍵的是：這一題根本不需要用公式解。 題目已經把兩根都給你了，這正是「根與係數關係」最好用的場合。 兩根和＝ −B/A　　兩根積＝ C/A 而且兩根是「共軛」的形式（3+√6 與 3−√6），相加會消掉根號、相乘是平方差，兩步都很好算。

正確解法

Step 1　先把兩根的「和」與「積」算出來（根號會自己消失） 兩根：α ＝ (3+√6)/2　，β ＝ (3−√6)/2 α + β ＝ ( (3+√6) + (3−√6) ) ⁄ 2 ＝ 6/2 ＝ 3 α × β ＝ (3+√6)(3−√6) ⁄ 4 ＝ (3² − (√6)²) ⁄ 4 ＝ (9 − 6)/4 ＝ 3/4 相加時根號一定消掉、相乘時用平方差公式——這是共軛根的固定套路。

Step 2　套根與係數關係（先把方程式對到標準式） 標準式 Ax² + Bx + C ＝ 0　→　4x² + (−a)x + b ＝ 0 　所以 A ＝ 4、B ＝ −a、C ＝ b

	公式	代入	結果
兩根和	−B/A	−(−a)/4 ＝ a/4 ＝ 3	a ＝ 12
兩根積	C/A	b/4 ＝ 3/4	b ＝ 3

a + b ＝ 12 + 3 ＝ 15　→　選 (D) 注意 B ＝ −a（因為題目寫的是 −ax），這個負號最容易掉。

Step 3　驗算：把 a、b 代回去看看根對不對 4x² − 12x + 3 ＝ 0 x ＝ ( 12 ± √(144 − 4·4·3) ) ⁄ 8 ＝ ( 12 ± √96 ) ⁄ 8 ＝ ( 12 ± 4√6 ) ⁄ 8 ＝ (3 ± √6) ⁄ 2　✓ √96 ＝ √(16×6) ＝ 4√6，再約分 4 → 分子分母同除以 4。 驗算只花三十秒，而且能同時檢查「有沒有把根號化到最簡」。

Step 4　如果真的想用公式解硬做，正確的比對方式是這樣 題目給的根＝ (3 ± √6)/2　先擴分成分母 2A ＝ 8　→　(12 ± 4√6)/8 對比 x ＝ ( a ± √(a²−16b) ) ⁄ 8 →　a ＝ 12，且 √(a²−16b) ＝ 4√6 兩邊平方：a² − 16b ＝ 96 → 144 − 16b ＝ 96 → 16b ＝ 48 → b ＝ 3 答案一樣，但步驟多了一倍，而且「擴分」那一步很容易忘。 兩根都給你的時候，一律先用根與係數。

要記住的觀念

看到「兩根是…」，先想根與係數，不要先想公式解。 Ax² + Bx + C ＝ 0　→　兩根和＝ −B/A　，兩根積＝ C/A 題目給根、求係數 → 用根與係數（兩行）。 題目給係數、求根 → 用公式解或因式分解。
共軛根 (p ± √q)/r 有兩個必用性質： 相加根號消失、相乘是平方差 p² − q。 這兩步都不會出現根號，所以算出來的係數一定是有理數。
對標準式時，負號要跟著寫進去。 4x² − ax + b ＝ 0 的 B 是「−a」不是「a」。 建議動作：在題目上把 B ＝ ___、C ＝ ___ 直接寫出來，再套公式。
用公式解比對時，分母一定要先變成 2A。 本題的 2A ＝ 8，題目卻給分母 2 → 必須先把分子分母同乘 4。 忘了擴分，就會把 3 當成 a、把 6 當成判別式（這次就是這樣錯的）。
算完一定回代驗算。 把 a、b 代回原式解一次，只要三十秒， 而且能抓出「根號沒化到最簡」「約分約錯」這兩種最常見的錯。

類題自我檢測

若一元二次方程式 3x² + mx + n = 0 的兩根為 (−2 ± √10) ⁄ 3，則 m − n 之值為何？

看解答

m − n = 6。
兩根和＝ (−2+√10)/3 + (−2−√10)/3 ＝ −4/3；兩根積＝ ((−2)² − 10)/9 ＝ (4−10)/9 ＝ −6/9 ＝ −2/3。
根與係數：A＝3、B＝m、C＝n。
兩根和＝ −m/3 ＝ −4/3 → m ＝ 4；兩根積＝ n/3 ＝ −2/3 → n ＝ −2。
m − n ＝ 4 − (−2) ＝ 6。
驗算：3x² + 4x − 2 ＝ 0 → x ＝ (−4 ± √(16+24))/6 ＝ (−4 ± √40)/6 ＝ (−4 ± 2√10)/6 ＝ (−2 ± √10)/3 ✓
作法完全一樣：先算兩根和與積 → 套 −B/A 與 C/A → 回代驗算。

我的原始作答

圖上的三行算式（9 − 4×4×b ＝ 6 → 9 − 16b ＝ 6 → 16b ＝ 3）顯示 當時是往「公式解比對」的方向走的，而且把 a 當成 3、把根號內的 6 當成判別式。 問題不在計算，而在「一開始就選了比較難走的路」。
建議固定動作（看到題目先問一句話）： 「題目給的是根，還是係數？」
給根 → 立刻寫「兩根和＝＿、兩根積＝＿」
給係數 → 才用公式解或因式分解 這一題兩根都給了，寫兩行就結束，完全不必碰判別式。

複習標記

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