錯題解析

479 和 521 是「500 ∓ 21」——a²+ab+b² 要拆成 (a+b)² − ab

數學．第 3 冊．2026/08/09．第 11 題　|　主題：乘法公式．和的平方與平方差的靈活運用

題目

請判斷 479² + 479 × 521 + 521² 與下列哪一個式子的運算結果是相同的？

(A) 1000² + 500² − 21²
(B) 1000² − 500² + 21²　←　正確答案
(C) 1000² − 500² − 21²
(D) 1000² + 500² + 21²

正確答案：(B)a²+ab+b² ＝ (a+b)² − ab ＝ 1000² − (500²−21²) ＝ 1000² − 500² + 21²

（原圖只拍到紅筆訂正的正解，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

關鍵錯誤：看到選項裡有 1000、500、21，就想「湊」出來，而不是「推」出來。
正確的順序永遠是：先觀察兩個數字的關係 → 設出代號 → 用公式化簡 → 最後才看選項。

這一題的兩個數字有兩個明顯關係，都要看出來： 479 + 521 ＝ 1000（選項裡的 1000 從這裡來） 479 ＝ 500 − 21，521 ＝ 500 + 21（選項裡的 500 和 21 從這裡來） 看出這兩點之後，就知道兩個數字是「以 500 為中心、左右各差 21」的一對。

第二個關卡：a² + ab + b² 不是任何一個標準乘法公式。 它必須先被改寫。改寫的方向只有兩個，這題要用第一個： ① a² + ab + b² ＝ (a+b)² − ab　←　本題用這個（因為 a+b ＝ 1000 很漂亮） ② a² + ab + b² ＝ (a−b)² + 3ab　←　當 a−b 好算時才用 如果沒有先做這個改寫，就只能硬乘，很容易在符號上出錯—— 而錯的三個選項 (A)(C)(D) 正好就是「三個符號的其他組合」。

正確解法

Step 1　設代號，把兩個關係寫下來 令 a ＝ 479，b ＝ 521 a + b ＝ 1000　　a ＝ 500 − 21，b ＝ 500 + 21 「479 和 521 的中間是 500」是這題的第一個題眼—— 看到兩個數字相加是整數，先算平均。

Step 2　把 a² + ab + b² 改寫成 (a+b)² − ab (a+b)² ＝ a² + 2ab + b² 所以 a² + ab + b² ＝ (a+b)² − ab 檢查：(a²+2ab+b²) − ab ＝ a² + ab + b² ✓ 原式＝ 1000² − ab 剩下只要算 ab。

Step 3　用平方差算 ab（這裡 500 和 21 就出場了） ab ＝ 479 × 521 ＝ (500 − 21)(500 + 21) ＝ 500² − 21² 看到「一大一小、對稱於某個整數」的兩數相乘，一律用平方差。 原式＝ 1000² − (500² − 21²) ＝ 1000² − 500² + 21² 括號拆開時，減號要分配到括號裡的每一項—— 「−(500² − 21²)」變成「−500² + 21²」，這個 +21² 就是 (B) 和 (C) 的差別。 所以答案是 (B)。

Step 4　用數字驗算一次（保證不會選錯符號）

算式	值
479² ＝ 229441
479 × 521 ＝ 250000 − 441 ＝ 249559	（用 500²−21² 算最快）
521² ＝ 271441
原式合計	229441 + 249559 + 271441 ＝ 750441
(B) 1000² − 500² + 21²	1000000 − 250000 + 441 ＝ 750441 ✓
(A) 1000²+500²−21²	1249559 ✗
(C) 1000²−500²−21²	749559 ✗
(D) 1000²+500²+21²	1250441 ✗

選擇題時間夠的話，直接算一次數值是最保險的驗算法；注意 (B) 和 (C) 只差 2×21² ＝ 882，用估算是分不出來的。

要記住的觀念

看到接近的大數，先做兩件事：算「和」、算「中間值」。 479 + 521 ＝ 1000　；中間值＝ 500，各差 21 選項裡出現的數字，全部都會從這兩個關係跑出來。
a² + ab + b² 的兩種改寫，背起來： (a+b)² − ab　（a+b 好算時用）　／　(a−b)² + 3ab　（a−b 好算時用） 它本身不是乘法公式，一定要先改寫成含 (a+b)² 或 (a−b)² 的形式。
對稱兩數相乘＝平方差：(m−k)(m+k) ＝ m² − k²。 這是把大數乘法變簡單的第一工具： 98×102 ＝ 100²−2²、47×53 ＝ 50²−3²、479×521 ＝ 500²−21²。
拆括號時，負號要分配給裡面每一項。 −(500² − 21²) ＝ −500² + 21²。 這題四個選項只差正負號，符號錯一個就全錯—— 建議把括號拆開的那一步單獨寫成一行，不要在心裡做。
選項只差符號時，直接代數字驗算。 1000² ＝ 1000000、500² ＝ 250000、21² ＝ 441 都很好算， 三十秒就能確定，比再推一次公式安全。

類題自我檢測

請判斷 96² + 96 × 104 + 104² 與下列哪一個式子的運算結果相同？
(A) 200² − 100² + 4²　(B) 200² + 100² − 4²　(C) 200² − 100² − 4²　(D) 100² + 4²

看解答

(A)。作法完全一樣：
96 + 104 ＝ 200；96 ＝ 100−4、104 ＝ 100+4。
原式＝ (a+b)² − ab ＝ 200² − 96×104 ＝ 200² − (100² − 4²) ＝ 200² − 100² + 4²。
驗算：9216 + 9984 + 10816 ＝ 30016；(A) ＝ 40000 − 10000 + 16 ＝ 30016 ✓
三個固定動作：算和 → 找中間值 → 用 (a+b)² − ab 改寫。

我的原始作答

這題的四個選項只是三個符號的排列組合， 只要沒有把「− (500² − 21²) → −500² + 21²」這一步寫出來，就會在 (B)(C) 之間猶豫。
建議固定動作（三行，全部寫在紙上）： ① a ＋ b ＝ 1000　，a ＝ 500−21、b ＝ 500+21
② 原式＝ (a+b)² − ab ＝ 1000² − ab
③ ab ＝ 500² − 21² → 原式＝ 1000² − 500² + 21² 第③行的正號要特別描粗。 這與本錯題本乘法公式題一貫的解方一致： 先設代號、先改寫成標準公式，最後才看選項。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記