錯題解析

四段等長就是四個等腰三角形——設一個未知數，把角一路推過去

數學．第 3 冊．2026/08/09．第 12 題　|　主題：等腰三角形的底角相等．三角形內角和．設未知數解幾何角度

題目

如圖(五)，四邊形 ABCD 中，O 為對角線 AC、BD 的交點，且 AO ＝ BO ＝ AD ＝ CD。若 ∠CDO ＝ 60°，則 ∠ABO 的度數為何？

(A) 20
(B) 40　←　正確答案
(C) 60
(D) 80

正確答案：(B)設 ∠ADO ＝ x，由 AD ＝ AO 與 AD ＝ CD 推得 x ＝ 80°，∠AOB ＝ 100°，故 ∠ABO ＝ 40°

（原圖只拍到紅筆訂正的正解，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

關鍵錯誤：把「AO ＝ BO ＝ AD ＝ CD」四個條件當成四個獨立的訊息，沒有把它們翻譯成「三個等腰三角形」。
幾何題的等號條件只有一個用途：找出等腰三角形，然後把「兩底角相等」寫在圖上。 AD ＝ CD　→　△ACD 是等腰　→　∠DAC ＝ ∠DCA AD ＝ AO　→　△ADO 是等腰　→　∠ADO ＝ ∠AOD AO ＝ BO　→　△ABO 是等腰　→　∠ABO ＝ ∠BAO 三行寫完，這題就只是「設一個未知數，把角一路推過去」。

第二個關卡：60° 這個角要用在哪裡。 ∠CDO 的 O 在 BD 上，所以 ∠CDO 就是 ∠CDB。 它和 ∠ADO（＝∠ADB）合起來才是 ∠ADC。 ∠ADC ＝ ∠ADO ＋ ∠CDO ＝ x ＋ 60° 沒有把 ∠ADC 拆成兩塊，就會卡在「60° 到底要接到哪裡」。

第三個常見錯法：直接猜 ∠ABO ＝ 60° 或 20°。 60° 是「別人的角」，20° 是中途算出來的 ∠DAC—— 都是「算到一半就停下來」的結果。

正確解法

Step 1　先在圖上標三個等腰三角形（動筆畫等號記號）

條件	等腰三角形	可以寫下的等角
AD ＝ CD	△ACD（頂點 D）	∠DAC ＝ ∠DCA
AD ＝ AO	△ADO（頂點 A）	∠ADO ＝ ∠AOD
AO ＝ BO	△ABO（頂點 O）	∠ABO ＝ ∠BAO

再標兩個「共線」事實（這題的隱藏條件）： A、O、C 共線（O 在 AC 上）　→　∠DAO ＝ ∠DAC B、O、D 共線（O 在 BD 上）　→　∠AOB 與 ∠AOD 互補；∠CDO ＝ ∠CDB

Step 2　設未知數，把每個角用 x 表示 設 ∠ADO ＝ x（也就是 ∠ADB） ① ∠ADC ＝ x + 60° ② △ACD 等腰（DA＝DC）：∠DAC ＝ (180° − (x+60°)) ⁄ 2 ＝ 60° − x/2 ③ △ADO 內角和：∠AOD ＝ 180° − ∠ADO − ∠DAO ＝ 180° − x − (60° − x/2) ＝ 120° − x/2 到這裡「所有角都用 x 表示完了」，接下來只要找一條等式。

Step 3　用還沒用到的條件 AD ＝ AO 列方程式 △ADO 中 AD ＝ AO → 兩底角相等 → ∠ADO ＝ ∠AOD x ＝ 120° − x/2　→　3x/2 ＝ 120°　→　x ＝ 80° （等腰的「底角」是夾在腰與底邊之間的兩個角：AD 與 AO 是腰，DO 是底，所以底角是 ∠ADO 與 ∠AOD。） 檢查：∠ADC ＝ 80° + 60° ＝ 140°，∠DAC ＝ ∠DCA ＝ (180−140)/2 ＝ 20°， △ADO 三角＝ 80° + 20° + 80° ＝ 180° ✓

Step 4　回到要求的 ∠ABO ∠AOD ＝ 80°　→　B、O、D 共線　→　∠AOB ＝ 180° − 80° ＝ 100° △ABO 中 AO ＝ BO → ∠ABO ＝ ∠BAO ＝ (180° − 100°) ⁄ 2 ＝ 40° 答案 (B) 40°。 最後一步最容易漏：算出 ∠AOD 不等於算完，要先用「補角」換成 ∠AOB，才能進到 △ABO。

Step 5　全圖驗算（把所有角填一遍）

角	度數	來源
∠ADB（＝∠ADO）	80°	設的未知數解出
∠BDC（＝∠CDO）	60°	題目給
∠ADC	140°	80° + 60°
∠DAC ＝ ∠DCA	20°	△ACD 等腰
∠AOD	80°	180° − 80° − 20°（也等於 ∠ADO ✓）
∠AOB	100°	180° − 80°
∠ABO ＝ ∠BAO	40°	△ABO 等腰，(180−100)/2

每個角都填得出來、每個三角形內角和都是 180°，才算真的做完。

要記住的觀念

幾何題看到「＝」，第一個動作是找等腰三角形，並在圖上畫等號記號。 本題四段等長 → 三個等腰三角形 → 三組等角， 訊息量比「四段長度一樣」大得多。
角度題的通用流程：設一個未知數 → 把每個角都用它表示 → 用「還沒用到的條件」列方程式。 設哪一個？設「離已知角最近、又同時屬於兩個三角形」的那一個—— 本題的 ∠ADO 同時在 △ADO 和 ∠ADC 裡，所以最好用。
「O 在對角線上」是隱藏條件，一定要拆出來用： A、O、C 共線 → ∠DAO ＝ ∠DAC； B、O、D 共線 → ∠AOB ＋ ∠AOD ＝ 180° 這題兩個都用到了，少用一個就解不出來。
等腰三角形的底角是「夾腰與底」的那兩個，不要抓錯。 AD ＝ AO 時，頂點是 A，底角是 ∠ADO 與 ∠AOD。 建議動作：在圖上把兩條等長的邊描粗，底角自然就看得出來。
算完要回頭確認「題目問的是哪個角」。 本題的 20°（∠DAC）、60°（∠CDO）、80°（∠ADB）都在選項裡， 三個都是「中途的角」——這就是選項的設計目的。 把要求的角先圈起來再開始算。

類題自我檢測

如圖，△ABC 中，D 在 BC 上，且 AB ＝ AD ＝ DC。若 ∠BAD ＝ 40°，則 ∠C ＝？
(A) 25°　(B) 30°　(C) 35°　(D) 40°

看解答

(C) 35°。
AB ＝ AD → △ABD 等腰 → ∠B ＝ ∠ADB ＝ (180° − 40°)/2 ＝ 70°。
B、D、C 共線 → ∠ADC ＝ 180° − 70° ＝ 110°。
DA ＝ DC → △ADC 等腰 → ∠C ＝ ∠DAC ＝ (180° − 110°)/2 ＝ 35°。
作法完全一樣：每一個「＝」畫一個等腰記號 → 用共線換補角 → 一路推到底。 （另一個更快的看法：∠ADB 是 △ADC 的外角，所以 ∠C ＝ ∠ADB ÷ 2 ＝ 35°。）

我的原始作答

這一題的四個條件寫成一長串「AO ＝ BO ＝ AD ＝ CD」， 看起來像一句話，其實是三個不同的等腰三角形，散布在圖的三個角落。 沒有把它們一個一個標到圖上，就會不知道從哪裡下手。
建議固定動作（開始算之前先做完）： ① 把等長的邊用相同記號（|、||、×）描在圖上
② 每組等長旁邊寫出「這是哪個等腰三角形、底角是哪兩個」
③ 把要求的角圈起來，再設未知數開始推 做完 ①②③，這題就是三行方程式的事。
這也是本錯題本幾何題反覆出現的重點：條件要先「畫在圖上」，不要留在題目文字裡。

複習標記

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還沒標記