錯題解析

作出 ∠DAC ＝ ∠C 就是「作平行線」——角平分線碰上平行線必生等腰

數學．第 3 冊．2026/08/09．第 20 題　|　主題：尺規作圖．平行線的判別．角平分線 ＋ 平行 ⇒ 等腰三角形

題目

圖(十二)的 △ABC 中，AC ＞ BC ＞ AB，小明依照以下步驟完成尺規作圖：
1. 以 A 為頂點，在 AC 的右側作 ∠DAC ＝ ∠C，如圖(十三)。
2. 作 ∠B 的角平分線交 AD 的延長線於 E 點，如圖(十四)。
3. 作 ∠C 的角平分線交 AD 的延長線於 F 點，如圖(十五)。
請根據作圖過程判斷 AF 與下列哪一個線段等長？
  1. (A) AB
  2. (B) AC　←　正確答案
  3. (C) BC
  4. (D) AE
正確答案：(B)AD ∥ BC ⇒ ∠AFC ＝ ∠FCB ＝ ∠FCA ⇒ △AFC 等腰 ⇒ AF ＝ AC
題目原文

（原圖只拍到紅筆訂正的正解，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

關鍵錯誤：把步驟 1 讀成「作一個和 ∠C 一樣大的角」，卻沒有想「這樣做出來的兩條線有什麼關係」。
「∠DAC ＝ ∠C（＝∠ACB）」這兩個角，是以 AC 為截線的內錯角。 內錯角相等 → 兩直線平行　→　AD ∥ BC 整題的鑰匙就是這一句。步驟 1 的真正目的不是「作一個角」，而是「作一條平行線」。

第二個關卡：角平分線 ＋ 平行線 ＝ 等腰三角形，這是必背的組合。 CF 平分 ∠C　→　∠FCA ＝ ∠FCB AF ∥ BC，被 CF 截　→　∠AFC ＝ ∠FCB（內錯角） 兩式合併　→　∠AFC ＝ ∠FCA　→　△AFC 兩底角相等　→　AF ＝ AC 只要看出平行，這三行就結束了。

第三個陷阱：題目給了 AC ＞ BC ＞ AB，很容易被誘導去比大小。 那個條件只是為了讓 E、F 兩點落在圖上的位置（F 在 A 的左邊、E 在 D 的右邊）， 和答案無關。 另外要注意 (D) AE 是「另一條由 ∠B 產生的等腰邊」——AE ＝ AB，不是 AF。

正確解法

Step 1　步驟 1 的翻譯：作出一條平行線 ∠DAC ＝ ∠ACB，且兩角是以 AC 為截線的內錯角 →　直線 AD ∥ 直線 BC 尺規作圖題的第一個動作永遠是：把每個步驟翻成一句幾何結論。 「作一個角等於某個角」在課本裡幾乎只有兩個用途： ①作平行線（內錯角／同位角相等）②複製角做全等。 本題是第一種。
Step 2　步驟 3（∠C 的角平分線）→ 得到 AF ＝ AC
理由結論
CF 平分 ∠ACB∠ACF ＝ ∠FCB
AF ∥ BC，CF 為截線∠AFC ＝ ∠FCB（內錯角）
兩式相等代換∠AFC ＝ ∠ACF
△AFC 中兩底角相等AF ＝ AC（等角對等邊）
所以答案是 (B)。
Step 3　步驟 2 是同一招的另一半：AE ＝ AB BE 平分 ∠ABC　→　∠ABE ＝ ∠EBC AE ∥ BC，BE 為截線　→　∠AEB ＝ ∠EBC（內錯角） →　∠AEB ＝ ∠ABE　→　△ABE 等腰　→　AE ＝ AB 看懂這一半，就知道 (D) 為什麼是誘答：AE 等於的是 AB，不是 AF。 而且因為 AC ＞ AB，所以 AF ＝ AC ＞ AB ＝ AE， AF 和 AE 一定不相等——這也可以直接刪掉 (D)。
Step 4　把整張圖的等長關係列一次（作圖題常考的收穫）
線段等於來源
AFAC∠C 的角平分線 ＋ AD ∥ BC
AEAB∠B 的角平分線 ＋ AD ∥ BC
EFAE ＋ AF ＝ AB ＋ AC 因為 F、A、E 依序在同一直線上（F 在 A 左、E 在 A 右）
「兩條角平分線 ＋ 一條平行線 → EF ＝ AB ＋ AC」是這個題型的完整結論，順便記起來。

要記住的觀念

  • 尺規作圖題的固定動作：把每個步驟翻成一句幾何結論，寫在步驟旁邊。 「作 ∠DAC ＝ ∠C」→ 寫下「所以 AD ∥ BC」。 不翻譯就只能看圖猜，一定做不出來。
  • 必背組合：角平分線 ＋ 平行線 ＝ 等腰三角形。 平分線給你「兩角相等」，平行線給你「內錯角相等」， 兩者一接就得到「同一個三角形的兩底角相等」 這是會考幾何最常出現的三行推理，看到平行線和角平分線同時出現就要反射。
  • 「內錯角相等 ⇒ 平行」與「平行 ⇒ 內錯角相等」要分清楚方向。 步驟 1 用的是前者（先有等角，推出平行）； 步驟 2、3 用的是後者（先有平行，推出等角）。 寫證明時方向寫反就會被扣分。
  • 「等角對等邊」是最後一步的依據，要寫出來。 △AFC 中 ∠AFC ＝ ∠ACF，所以它們的對邊 AC 與 AF 相等。 注意「對邊」的對應：∠AFC 對 AC、∠ACF 對 AF。
  • 題目給的大小條件（AC ＞ BC ＞ AB）常常只是為了「畫得出圖」，不一定要用。 先判斷條件是「用來推理」還是「用來定位置」， 不要因為看到不等式就急著去比大小。

類題自我檢測

△ABC 中，過 A 作直線 ℓ ∥ BC。∠B 的角平分線交 ℓ 於 P，∠C 的角平分線交 ℓ 於 Q。 若 AB ＝ 7、AC ＝ 9，則 PQ 的長度為何？
(A) 2　(B) 9　(C) 16　(D) 63

看解答

(C) 16。
BP 平分 ∠B 且 ℓ ∥ BC → ∠APB ＝ ∠PBC ＝ ∠ABP → AP ＝ AB ＝ 7。
CQ 平分 ∠C 且 ℓ ∥ BC → ∠AQC ＝ ∠QCB ＝ ∠QCA → AQ ＝ AC ＝ 9。
P 與 Q 分別在 A 的兩側（一條由 B 來、一條由 C 來）， 所以 PQ ＝ AP ＋ AQ ＝ 7 ＋ 9 ＝ 16。
完全是本題的一般化：角平分線 ＋ 平行線 → 兩個等腰 → 兩段長度直接抄過來。

我的原始作答

原始作答

這題有四張圖、三個步驟，資訊量看起來很大， 但整題其實只靠一句話：「∠DAC ＝ ∠C ⇒ AD ∥ BC」。 沒抓到這句，四張圖就只是四張圖；抓到了，剩下的兩步都是同一招。
建議固定動作：在每個步驟的右邊，用一支筆寫下「這一步得到什麼」—— 步驟1 → AD ∥ BC　　步驟2 → AE ＝ AB　　步驟3 → AF ＝ AC 三句話寫完，答案直接讀出來。
另外提醒：(D) AE 是本題最強的誘答， 因為 AE 和 AF 在同一條直線上、看起來很像； 但 AE ＝ AB、AF ＝ AC，而題目已說 AC ＞ AB，兩者必不相等。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記