錯題解析

球心到兩個角各拉一條半徑，畫出兩個直角三角形——x ＝ 20 ＋ 24

數學．第 3 冊．2026/08/09．第 21 題　|　主題：畢氏定理．圓與切點的半徑．把實物圖轉成直角三角形

題目

桌面上平行放置兩個邊長分別為 37 公分、45 公分的正方體積木， 並在兩積木間隔的上方放置一顆半徑 25 公分的圓球，如圖(十六)所示。 若兩積木相隔 x 公分，且圓球的最底端離桌面的距離為 27 公分， 則 x ＝ ？
  1. (A) 39
  2. (B) 40
  3. (C) 44　←　正確答案
  4. (D) 45
正確答案：(C)球心高 52；左半 √(25²−15²)＝20、右半 √(25²−7²)＝24，x ＝ 20+24 ＝ 44
題目原文

（原圖只拍到紅筆訂正的正解，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

原圖上的計算出現了 √109、3√109 這些數字，代表當時是把「27」直接當成三角形的一邊在算。 問題在於：這一題要用的不是 27，而是「球心的高度」。

第一個關鍵：先把球心的高度算出來。 球最底端離桌面 27，半徑 25　→　球心離桌面 ＝ 27 ＋ 25 ＝ 52 「最底端」不是球心，中間差一個半徑——這一步沒做，後面全部會歪。

第二個關鍵：球是靠在兩個積木的「上緣內角」上的。 從球心拉到那兩個角，各是一條長度 25 的斜邊（半徑）。 左角高 37 → 垂直邊 ＝ 52 − 37 ＝ 15 右角高 45 → 垂直邊 ＝ 52 − 45 ＝ 7 兩個直角三角形的斜邊都是 25，垂直邊分別是 15 和 7，水平邊就是要求的兩段。

第三個關鍵：x 是「兩段水平距離的和」，不是其中一段。 球心在兩積木之間，左邊一段、右邊一段，加起來才是縫寬 x。 只算一邊就會得到 20 或 24；把 27 當邊長硬算就會出現 √109。

正確解法

Step 1　把圖轉成「一個點 ＋ 兩條半徑」的座標圖
先在圖上標出三個高度（全部從桌面量起）：
位置離桌面高度怎麼來的
球最底端27題目給
球心 O27 ＋ 25 ＝ 52 最底端再往上一個半徑
左積木上緣（內角）37積木邊長
右積木上緣（內角）45積木邊長
球心比兩個角都高（52 ＞ 45 ＞ 37），所以球確實是卡在上面、沒有掉下去。
Step 2　從球心各拉一條半徑到兩個接觸角，畫出兩個直角三角形 左邊三角形：斜邊（半徑）＝ 25，鉛直邊 ＝ 52 − 37 ＝ 15
水平邊 ＝ √(25² − 15²) ＝ √(625 − 225) ＝ √400 ＝ 20 右邊三角形：斜邊（半徑）＝ 25，鉛直邊 ＝ 52 − 45 ＝ 7
水平邊 ＝ √(25² − 7²) ＝ √(625 − 49) ＝ √576 ＝ 24 兩組都是常見的畢氏數：(15, 20, 25) ＝ 3-4-5 的 5 倍；(7, 24, 25) 也要背起來。 開出來是整數，就是「做對了」的訊號。
Step 3　把兩段水平距離加起來 x ＝ 20 ＋ 24 ＝ 44　→　選 (C) 球心的鉛直線把縫寬切成左右兩段，兩段加起來才是 x。 選項 (A)39、(B)40、(D)45 的用意： 40 ＝ 只算了左邊那段的兩倍、45 ＝ 直接抄了積木邊長—— 都是「算到一半就停」或「抄錯數字」。
Step 4　驗算：檢查球確實同時碰到兩個角 把球心設在座標 O(0, 52)，左角在 (−20, 37)、右角在 (24, 45)： 左角到球心：√(20² + 15²) ＝ √625 ＝ 25 ＝ 半徑 ✓ 右角到球心：√(24² + 7²) ＝ √625 ＝ 25 ＝ 半徑 ✓ 縫寬 ＝ 24 − (−20) ＝ 44 ✓ 兩條半徑都剛好 25，代表球同時靠在兩個角上，答案合理。

要記住的觀念

  • 圓與實物的題目，第一個動作永遠是「找出球心，並算出球心的高度」。 球心高 ＝ 最低點高 ＋ 半徑　（也 ＝ 最高點高 − 半徑） 題目給的多半是「最低端／最高端」，不是球心，中間差一個半徑。
  • 球靠在角上時，從球心拉到接觸點的線段就是半徑，長度已知——那是斜邊。 再補一條鉛直線、一條水平線，就形成可以用畢氏定理的直角三角形。 固定動作：球心 → 接觸點畫一條線，並在旁邊寫上「＝ r」。
  • 兩邊高度不同時，一定要「左右各做一次」，最後相加。 本題左邊 15-20-25、右邊 7-24-25，兩個三角形完全不同。 看到「相隔 x」「總寬度」這種問法，先問自己「這是幾段的和？」
  • 常用畢氏數要背熟，開得出整數就代表算對： (3,4,5)　(5,12,13)　(7,24,25)　(8,15,17)　(9,40,41)　(20,21,29) 還有它們的倍數：(15,20,25)、(6,8,10)、(9,12,15)。 算出 √109 這種開不盡的數，通常就是設錯邊了。
  • 把實物圖改畫成「只有點和線段」的簡圖再算。 積木只需要保留「上緣的那個角」，球只需要保留「球心和半徑」。 圖畫乾淨，直角三角形就自己出現了。

類題自我檢測

桌面上平行放置兩個高度分別為 20 公分與 34 公分的長方體積木， 兩積木間隔的上方卡著一顆半徑 26 公分的球，球同時靠在兩個積木的上緣內角上。 若球的最底端離桌面 18 公分，則兩積木相隔幾公分？
(A) 24　(B) 30　(C) 34　(D) 44

看解答

(C) 34。步驟和本題一模一樣：
① 球心高 ＝ 18 ＋ 26 ＝ 44（最底端再往上一個半徑）。
② 左邊：鉛直邊 ＝ 44 − 20 ＝ 24，水平邊 ＝ √(26² − 24²) ＝ √(676−576) ＝ √100 ＝ 10。
③ 右邊：鉛直邊 ＝ 44 − 34 ＝ 10，水平邊 ＝ √(26² − 10²) ＝ √(676−100) ＝ √576 ＝ 24。
④ x ＝ 10 ＋ 24 ＝ 34。
（用到的畢氏數是 (10, 24, 26)，也就是 (5,12,13) 的 2 倍——又開出整數，代表做對了。）

我的原始作答

原始作答

原圖上出現 √109、3√109，代表當時是把 27 直接當成直角三角形的一邊 （例如 10² + 3² 或 27 與某數配對）。 √ 開不盡就是一個很強的警訊：這題四個選項都是整數， 代表正確做法一定會開出整數。
建議固定動作（先寫三個高度，再畫兩個三角形）： ① 球心高 ＝ 27 ＋ 25 ＝ 52
② 左：52 − 37 ＝ 15 → 水平 √(25²−15²) ＝ 20
③ 右：52 − 45 ＝ 7 → 水平 √(25²−7²) ＝ 24
④ x ＝ 20 ＋ 24 ＝ 44 第①步是整題的分水嶺：先把「最底端」換成「球心」。

複習標記

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