錯題解析

右下角是第 21 張，但「總共幾張」要自己去圖上數——不是 40 張，是 45 張

數學．第 3 冊．2026/08/09．第 25 題　|　主題：等差數列與級數．由兩項求公差．數列求和公式

題目

已知小華所拿的是戊紙牌（長邊 9 公分、短邊 6 公分），每張紙牌上皆有一數，且依圖(二十)的方式排列（從左上角那張開始，沿箭頭順時針繞一圈）。紙牌依序排列後，紙牌上的數恰好為一首項為 4 的等差數列。若左上角及右下角紙牌的數分別為 4 和 64，請問小華排列在桌面上所有紙牌的數之和為多少？

(A) 2500
(B) 2880
(C) 3150　←　正確答案
(D) 3724

正確答案：(C)右下角是第 21 張 → 公差 3；全圈共 45 張 → 和＝ 45×(4+136)÷2 ＝ 3150

（原圖只拍到紅筆訂正的正解，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

這題有兩個「要去圖上數」的數字，缺一不可： ① 標 64 的那張是第幾張（決定公差） ② 整圈總共幾張（決定項數） 只算出①就以為做完，是這題最大的陷阱。

最容易犯的錯：以為「左上角到右下角剛好是一半」。 若右下角是第 21 張，就直覺認為總共 2 × 20 ＝ 40 張
→ 和＝ 40 × (4 + 121) ÷ 2 ＝ 2500　←　這正是選項 (A) 選項 (A) 就是為了這個直覺而設的。 但小華的排法上排／下排、左排／右排的張數並不相同（圖上牌的方向是交錯的），所以「對角線把整圈平分成兩半」在這裡不成立。

正確做法：照著箭頭把圖上的牌實際數一遍。 從左上角那張（第 1 張）沿上排往右、再沿右排往下，數到標 64 的那張，是第 21 張；繼續把下排與左排數完，整圈一共 45 張。 兩個數字都到手，剩下的就是等差數列的兩個公式。

正確解法

Step 1　從圖上讀出兩個數字（這一步一定要動筆數）

要讀的東西	怎麼數	結果
標 64 的是第幾張	從左上角第 1 張沿箭頭順時針，數到右下角那張	第 21 張
整圈共幾張	繼續數完下排與左排，回到第 1 張為止	45 張

提醒：圖上的「……」只出現在上排與下排，左右兩排是完整畫出來的，所以要靠「上下排的張數」把總數補齊，不能只憑印象。

Step 2　用第 1 項和第 21 項求公差 等差數列：a_n ＝ a₁ ＋ (n−1)d a₁ ＝ 4，a₂₁ ＝ 64 →　4 ＋ 20d ＝ 64　→　20d ＝ 60　→　d ＝ 3 注意是「20d」不是「21d」——第 1 項到第 21 項中間隔了 20 個公差。 這個「差一項」是等差數列最常見的失分點。

Step 3　求末項（第 45 項） a₄₅ ＝ 4 ＋ (45 − 1) × 3 ＝ 4 ＋ 44 × 3 ＝ 4 ＋ 132 ＝ 136 一樣是 44 個公差，不是 45 個。

Step 4　用等差級數求和 S_n ＝ n × (首項＋末項) ÷ 2 S₄₅ ＝ 45 × (4 ＋ 136) ÷ 2 ＝ 45 × 140 ÷ 2 ＝ 45 × 70 ＝ 3150 選 (C)。 另一個公式也可以：S_n ＝ n·a₁ ＋ n(n−1)d/2 ＝ 45×4 ＋ 45×44×3÷2 ＝ 180 ＋ 2970 ＝ 3150 ✓ 兩種算法互相驗算最保險。

Step 5　回頭看四個選項在騙什麼

選項	怎麼算出來的	錯在哪
(A) 2500	以為總共 40 張：40×(4+121)÷2	誤以為對角線把整圈平分
(B) 2880	項數或公差再各差一點的湊數	「差一項」的錯
(C) 3150	45 張、公差 3	✓
(D) 3724	項數數多了	重複數到角落的牌

四個選項全部圍繞著「項數」打轉——這題考的其實不是數列，是「有沒有把圖數清楚」。

要記住的觀念

等差數列題的三個量：首項、公差、項數。缺一個就算不出總和。 做題前先在旁邊寫「a₁ ＝？　d ＝？　n ＝？」三格，填滿才開始算。 本題的 a₁ 是給的，d 要從「第幾項」推，n 要從圖上數。
「第 1 項到第 k 項，中間是 (k−1) 個公差」——差一項是最常見的失分。 a₂₁ − a₁ ＝ 20d，不是 21d 畫個小圖：●—●—●，三個點只有兩段間隔。
不要假設「對角是一半」。 只有在排列完全對稱（上下排一樣多、左右排一樣多）時，左上角與右下角才會剛好差半圈。 本題的排法不是這樣，所以項數一定要實際數。
等差級數的兩個求和公式，兩個都要會，可以互相驗算： S_n ＝ n(a₁ + a_n)/2 S_n ＝ n·a₁ + n(n−1)d/2
圖上有「……」時，代表那一段被省略了，必須用其他資訊補回來。 看到省略號，先問「這一排到底有幾張？我是從哪裡知道的？」 答不出來就不能往下算。

類題自我檢測

某等差數列的第 1 項是 7，第 16 項是 52，全部共 30 項。求這 30 項的總和。

看解答

1515。
① 公差：a₁₆ − a₁ ＝ 15d ＝ 52 − 7 ＝ 45 → d ＝ 3（是 15 個公差，不是 16 個）。
② 末項：a₃₀ ＝ 7 + 29×3 ＝ 7 + 87 ＝ 94。
③ 總和：S₃₀ ＝ 30 × (7 + 94) ÷ 2 ＝ 15 × 101 ＝ 1515。
驗算（第二個公式）：30×7 + 30×29×3÷2 ＝ 210 + 1305 ＝ 1515 ✓
流程一樣：先填滿「a₁、d、n」三格，再套求和公式，最後用另一個公式驗算。

我的原始作答

這一題真正的難點不在數列，而在「圖上那一圈到底有幾張牌」。 公差 3 其實很好求（4 → 64，中間 20 個公差）；但只要把總張數猜成 40，答案就會落到 (A) 2500——那是專門設計的陷阱選項。
建議固定動作： ① 在圖上從第 1 張開始，沿箭頭一張一張點過去並寫編號，直到標 64 的那張（得到 21）
② 繼續點完整圈，得到總張數（45）
③ 才開始寫「a₁ ＝ 4、d ＝ 3、n ＝ 45」，套公式 ①②沒做完就不要動筆算——這一題的分數在「數牌」，不在「算式」。
這也是本錯題本第 4 冊等差數列題共同的提醒：項數 n 一定要有明確來源，不能用感覺的。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記