錯題解析

風箏題：△DAP ≅ △ABQ 給你 AQ ＝ 18，再拆成「等腰直角 ＋ 正三角形」

數學．第 3 冊．2026/08/09．第 02 題　|　主題：AAS 全等證明．畢氏定理．箏形面積拆解（非選題）

題目

為了迎接「國際風箏節」的到來，阿國設計了一款風箏。他在一塊長方形 PQRS 的尼龍布上， 裁剪出一個箏形 ABCD，其中 A、B、C、D 四點分別在長方形 PQRS 的各邊上，且 AB ＝ AD、BC ＝ CD、∠BAD ＝ 90°、∠BCD ＝ 60°，如圖(二十三)所示。 （圖中 D 在上邊 PS 上、A 在左邊 PQ 上、B 在下邊 QR 上、C 在右邊 SR 上。）

請根據上述資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：
(1) 請說明 △DAP ≅ △ABQ 的理由。
(2) 承(1)，若 PD ＝ 18 公分、PQ ＝ 42 公分，則箏形 ABCD 的面積為多少平方公分？
正確答案(1) 由 AAS（∠P ＝ ∠Q ＝ 90°、∠PDA ＝ ∠QAB、AD ＝ AB） (2) 450 ＋ 450√3 平方公分
題目原文

錯在哪裡

這題是「兩小題連在一起」的非選題，第 (1) 小題的結論就是第 (2) 小題的工具。 最常見的失分是：(1) 只寫「因為看起來一樣」或漏寫全等理由， (2) 則不知道 AQ 從哪裡來。

(1) 的關鍵是「同角的餘角相等」，不是「對頂角」也不是「內錯角」。 ∠BAD ＝ 90°，而 P、A、Q 在同一條直線（長方形的左邊）上
→　∠PAD ＋ 90° ＋ ∠QAB ＝ 180°　→　∠PAD ＋ ∠QAB ＝ 90° 又 △APD 中 ∠P ＝ 90°　→　∠PAD ＋ ∠PDA ＝ 90° 兩式相減　→　∠QAB ＝ ∠PDA 再加上 ∠P ＝ ∠Q ＝ 90° 與 AD ＝ AB，就是 AAS。 注意對應順序：△DAP ≅ △ABQ，D↔A、A↔B、P↔Q。

(2) 的關鍵是把全等的「對應邊」抄出來。 D↔A、P↔Q　→　DP ＝ AQ ＝ 18　→　PA ＝ PQ − AQ ＝ 42 − 18 ＝ 24 沒有寫出「DP 對應 AQ」，就會卡在「只有 PD 和 PQ，怎麼算 AD？」

第三個關卡：箏形面積不要硬套公式，直接沿對角線 BD 切成兩塊最快。 △ABD 是等腰直角三角形、△BCD 是正三角形——兩個都有現成的面積公式。

正確解法

(1) △DAP ≅ △ABQ 的完整寫法
敘述理由
∠P ＝ ∠Q ＝ 90°PQRS 是長方形，四個角都是直角
∠PAD ＋ ∠BAD ＋ ∠QAB ＝ 180°P、A、Q 三點共線（平角）
∠PAD ＋ ∠QAB ＝ 90°因為 ∠BAD ＝ 90°
∠PAD ＋ ∠PDA ＝ 90°△APD 為直角三角形，兩銳角互餘
∠QAB ＝ ∠PDA同角（∠PAD）的餘角相等
AD ＝ AB題目已知（箏形的一組鄰邊）
∴ △DAP ≅ △ABQAAS 全等
對應關係：∠PDA ↔ ∠QAB（角）、∠P ↔ ∠Q（角）、AD ↔ BA（邊）。 非選題的分數在「理由」：「同角的餘角相等」「平角 180°」「AAS」 這幾個字一定要寫出來，只寫結論不給分。
(2) Step 1　用全等把邊長搬過來 △DAP ≅ △ABQ　→　PD ＝ QA ＝ 18，PA ＝ QB A 在 PQ 上　→　PA ＝ PQ − QA ＝ 42 − 18 ＝ 24　（所以 QB ＝ 24） 先把圖上的 P、A、Q 三段標好：PA ＝ 24、AQ ＝ 18、合計 42 ✓
(2) Step 2　用畢氏定理求 AD（＝AB） △APD 中：AD ＝ √(PA² ＋ PD²) ＝ √(24² ＋ 18²) ＝ √(576 ＋ 324) ＝ √900 ＝ 30 （18, 24, 30 就是 3-4-5 的 6 倍，開出整數代表算對。） 所以 AB ＝ AD ＝ 30
(2) Step 3　沿對角線 BD 把箏形切成兩塊 △ABD：AB ＝ AD ＝ 30，夾角 ∠BAD ＝ 90°　→　等腰直角三角形
面積 ＝ (1/2) × 30 × 30 ＝ 450 同時得到 BD ＝ 30√2（等腰直角三角形的斜邊 ＝ 腰 × √2） △BCD：BC ＝ CD，且夾角 ∠BCD ＝ 60°　→　兩底角也是 60°　→　正三角形
所以 BC ＝ CD ＝ BD ＝ 30√2 正三角形面積 ＝ (√3/4) × 邊長² ＝ (√3/4) × (30√2)² ＝ (√3/4) × 1800 ＝ 450√3 「等腰 ＋ 頂角 60° ＝ 正三角形」是這題最漂亮的一步，一定要記住。
(2) Step 4　相加得答案 箏形 ABCD 面積 ＝ △ABD ＋ △BCD ＝ 450 ＋ 450√3（平方公分） 約等於 450 + 450×1.732 ≈ 450 + 779.4 ＝ 1229.4 平方公分。 非選題不必化成小數，保留根號的最簡形式 450 + 450√3 即可 （也可以寫成 450(1 + √3)）。
另解：用箏形的對角線公式 箏形面積 ＝ (兩對角線乘積) ÷ 2（兩對角線互相垂直） AC 是對稱軸，垂直平分 BD。設 AC 與 BD 交於 M： BD ＝ 30√2 → BM ＝ 15√2 △ABD 等腰直角 → AM ＝ BM ＝ 15√2 △BCD 正三角形 → CM ＝ 高 ＝ (√3/2)×30√2 ＝ 15√6 AC ＝ 15√2 ＋ 15√6　→　面積 ＝ (30√2)(15√2 ＋ 15√6) ÷ 2 ＝ 450 ＋ 450√3 ✓ 兩種算法答案一致，可以互相驗算。

要記住的觀念

  • 「長方形四邊各有一點」的題型，固定招式是「同角的餘角相等」。 直角 ＋ 平角 → 兩個角互餘 → 找到相等的角 → AAS 或 ASA 全等 看到「頂點在長方形的邊上、夾角 90°」就先寫這三行。
  • 全等寫完，一定要「把對應邊抄出來」。 △DAP ≅ △ABQ → PD ＝ QA、PA ＝ QB。 非選題的第 (2) 小題幾乎都靠這一步接上去， 寫出對應邊本身就是分數。
  • 等腰三角形 ＋ 頂角 60° ＝ 正三角形。 本題 BC ＝ CD 且 ∠BCD ＝ 60°，所以三邊都等於 BD。 這一步讓 △BCD 的邊長直接從 BD 抄過來，不必再算。
  • 等腰直角三角形的三個必背關係： 兩腰 ＝ a　→　斜邊 ＝ a√2　，面積 ＝ a²/2 正三角形：邊長 s → 高 ＝ (√3/2)s，面積 ＝ (√3/4)s²。
  • 箏形（鳶形）面積有兩種算法，挑好算的用： ① 沿對角線切成兩個三角形再相加（本題用這個，最直覺）
    ② 兩對角線乘積 ÷ 2（兩對角線垂直時成立）     算完用另一種驗算最保險。
  • 非選題的分數在「過程」：每一步都要寫理由。 「因為 ∠BAD ＝ 90° 且 P、A、Q 共線，所以 ∠PAD ＋ ∠QAB ＝ 90°」 這種句子寫出來就是分數，只寫算式或只寫答案會被扣很多。

類題自我檢測

長方形 PQRS 中，D 在 PS 上、A 在 PQ 上、B 在 QR 上。若 AD ＝ AB、∠DAB ＝ 90°、 PD ＝ 5、PA ＝ 12，求 AQ 與 QB 的長，以及 △ABD 的面積。

看解答

AQ ＝ 5、QB ＝ 12、△ABD 面積 ＝ 84.5（＝169/2）。
同樣的三步：
① △DAP ≅ △ABQ（AAS）：∠P ＝ ∠Q ＝ 90°、∠PDA ＝ ∠QAB（同角 ∠PAD 的餘角）、AD ＝ AB。
② 對應邊：AQ ＝ PD ＝ 5、QB ＝ PA ＝ 12。
③ AD ＝ √(5² + 12²) ＝ 13（5-12-13 畢氏數）→ △ABD 是腰長 13 的等腰直角三角形 → 面積 ＝ 13²/2 ＝ 84.5。
流程完全一樣：先證全等 → 抄對應邊 → 畢氏求腰 → 用 a²/2 求面積。

我的原始作答

原始作答

圖上已經標出了 18、42、24、30、∠1+∠2 ＝ ∠2+∠3 ＝ ∠3+∠4 等關鍵資訊， 代表「同角的餘角相等」和「PA ＝ 42 − 18 ＝ 24」這兩步都想到了，方向完全正確。
要補強的是「把想到的東西完整寫成句子」—— 非選題的評分是逐句給分的： ① 寫出 ∠P ＝ ∠Q ＝ 90°（理由：長方形）
② 寫出 ∠PAD ＋ ∠QAB ＝ 90° ＝ ∠PAD ＋ ∠PDA（理由：平角、直角三角形兩銳角互餘）
③ 因此 ∠QAB ＝ ∠PDA（理由：同角的餘角相等）
④ 加上 AD ＝ AB，得 △DAP ≅ △ABQ（AAS）
⑤ 所以 AQ ＝ PD ＝ 18　←　這一句是接到第 (2) 小題的橋樑 特別是第 ⑤ 句，很多人算對卻沒寫，第 (2) 小題就會被認為「來源不明」。
面積部分請固定寫成兩塊：△ABD（等腰直角）＝ 450、 △BCD（正三角形，邊長 ＝ BD ＝ 30√2）＝ 450√3，合計 450 ＋ 450√3。

複習標記

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