被弄髒的等差級數：用「不超過 3 項」鎖死公差
題目
- (A) 106
- (B) 129
- (C) 152 ← 正確答案
- (D) 175 ← 我選的
錯在哪裡
如果沒有這個條件，這題有無限多解 —— 公差可以是 1、2、4，項數也跟著變， 正是這句話把答案鎖成唯一。
題目給的每一個條件都是要用的；看到「不超過 ◯ 項」就要拿它去限制公差。
而且這題有一招連公差都不用算的檢查法：
首項 5、末項 33 是固定的，所以
和 = (5 + 33) ÷ 2 × 項數 = 19 × 項數 答案一定是 19 的倍數！ 106 ÷ 19 = 5.58 ✗、129 ÷ 19 = 6.79 ✗、152 ÷ 19 = 8 ✓、175 ÷ 19 = 9.21 ✗
光用這一招 10 秒就能選出 (C)。
正確解法
在等差數列中，任兩項的差一定是公差的整數倍。
21 − 5 = 16 → d 必須整除 16 33 − 21 = 12 → d 必須整除 12 所以 d 要同時整除 16 和 12 → d 是 (16, 12) 的公因數 = 4 的因數 → d 只能是 1、2、4。
5 和 21 之間相隔 16，中間被遮住的項數 = 16/d − 1：
| d | 5 到 21 之間藏了幾項 | 21 到 33 之間藏了幾項 | 是否都 ≤ 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 16/1 − 1 = 15 項 | 12/1 − 1 = 11 項 | ✗ 太多 |
| 2 | 16/2 − 1 = 7 項 | 12/2 − 1 = 5 項 | ✗ 太多 |
| 4 | 16/4 − 1 = 3 項 | 12/4 − 1 = 2 項 | ✓ 剛好符合 |
→ 公差 d = 4，而且是唯一解。
從 5 開始每次加 4，一直到 33： 5、9、13、17、21、25、29、33 共 8 項（其中 9、13、17 被第一塊汙漬蓋住，25、29 被第二塊蓋住）。
也可以用公式算項數：項數 = (33 − 5) ÷ 4 + 1 = 7 + 1 = 8
等差級數求和公式：和 = (首項 + 末項) × 項數 ÷ 2 = (5 + 33) × 8 ÷ 2 = 38 × 4 = 152 答案 (C) 152。
驗算：直接加一次
（配對法：5+33 = 38、9+29 = 38、13+25 = 38、17+21 = 38，共 4 組 → 38 × 4 = 152）
要記住的觀念
- 等差數列中，任兩項的差 = 公差的倍數。所以公差一定是「各項差」的公因數。這是還原殘缺數列的第一招。
- 「相隔 16、公差 d」中間藏著 16/d − 1 項。記得減 1（兩端點不算在中間）。
- 看似無關的限制條件，正是唯一解的來源。「不超過 3 項」不是廢話，沒有它這題無解（有無限多組答案）。
- 和 = (首 + 末) × 項數 ÷ 2。本題首末已知，所以和必為 19 的倍數 —— 這個「整除性檢查」可以直接刷掉三個選項。
- 選擇題先找「答案必須具備的特徵」。倍數、奇偶、正負、大小範圍 —— 這類檢查往往比正規解法還快。
如果沒有「不超過 3 項」的限制，會有幾種答案？
d = 1：數列 5, 6, 7, …, 33 共 29 項，和 = (5+33)×29÷2 = 551
d = 2：數列 5, 7, 9, …, 33 共 15 項，和 = (5+33)×15÷2 = 285
d = 4：數列 5, 9, 13, …, 33 共 8 項，和 = 152
三個答案都成立！正是那句「遮蓋處不超過 3 項」把前兩個刷掉的
（d = 1 要藏 15 項、d = 2 要藏 7 項，汙漬沒那麼大）。
注意這三個和都是 19 的倍數（551 = 19×29、285 = 19×15、152 = 19×8），
再次印證「和一定是 19 的倍數」這個規律。
類題自我檢測
求等差級數 3 + ▨ + 21 + ▨ + 33 = ?，已知遮蓋處都不超過 2 項。
看解答
21 − 3 = 18 → d 整除 18；33 − 21 = 12 → d 整除 12 → d 是 (18,12) 的公因數 6 的因數 → d ∈ {1, 2, 3, 6}。
遮蓋 ≤ 2 項 → 18/d − 1 ≤ 2 → 18/d ≤ 3 → d ≥ 6 → 只剩 d = 6。
檢查另一段：12/6 − 1 = 1 項 ✓
數列：3、9、15、21、27、33 共 6 項 → 和 = (3 + 33) × 6 ÷ 2 = 108。
驗算整除性：(3+33)÷2 = 18 → 和必為 18 的倍數，108 = 18 × 6 ✓
我的原始作答
右邊寫了 1～9 的編號和 3、6、10、15、21、28、36、45 這串數字，
看得出你有嘗試「排項次、找規律」，方向是對的，但找錯了規律
（那串是三角形數，不是本題的等差數列）。
下次遇到殘缺的等差數列，固定用這兩步：
① 把已知兩項的差算出來 → 公差一定是這些差的公因數；
② 用「藏了幾項」的限制去刷掉太小的公差。
另外，請把「和 = (首+末)×項數÷2 ⇒ 和必為 (首+末)/2 的倍數」這招記下來，
這類選擇題常常一秒就能解決。
複習標記
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