細菌三天變 r³ 倍：用質因數分解找立方數
題目
- (A) 8
- (B) 28
- (C) 48 ← 我選的
- (D) 78 ← 正確答案
錯在哪裡
你的答案 48 = 45 + 3，代表把 a 設成 45、r 設成 3。
但只要回代驗算就會發現不對：
45 × 3³ = 45 × 27 = 1215 ≠ 2025 ✗ 2025 = 45² 這件事在本題沒有用，因為題目要的是「乘三次 r」，不是「平方」。
另一個要注意的觀念：「經過三天」= 乘了三次 r = r³， 不是 3r，也不是 r × 3。
第 1 天 a·r → 第 2 天 a·r² → 第 3 天 a·r³。
只要有回代檢查的習慣，這題不可能錯。
正確解法
| 時間 | 數量 |
|---|---|
| 現在 | a |
| 1 天後 | a · r |
| 2 天後 | a · r² |
| 3 天後 | a · r³ = 2025 |
2025 = 25 × 81 = 5² × 3⁴ 因為 a、r 都是正整數，所以 r³ 必須是 2025 的因數。
要湊出 r³ 這種立方數，質因數的指數必須是 3 的倍數：
・5 的指數只有 2 → 拿不出 5³ ✗
・3 的指數有 4 → 可以拿出 3³ = 27 ✓
所以 r = 3（r > 1，所以 r = 1 的情況本來就排除）。
a = 2025 ÷ 27 = 75 a + r = 75 + 3 = 78 答案 (D) 78。
逐一檢查所有可能的 r（確認唯一）
| r | r³ | 2025 ÷ r³ | a 是整數嗎 |
|---|---|---|---|
| 2 | 8 | 253.125 | ✗（2025 是奇數，不可能被 8 整除） |
| 3 | 27 | 75 | ✓ |
| 4 | 64 | 31.6… | ✗ |
| 5 | 125 | 16.2 | ✗ |
| ≥ 13 | ≥ 2197 | < 1 | ✗（已超過 2025） |
回代驗算
要記住的觀念
- 「經過 n 天，每天變 r 倍」＝ 乘上 rn。三天是 r³，不是 3r。這是指數成長的基本形。
- 質因數分解是整數解問題的萬用鑰匙。2025 = 3⁴ × 5²，一分解答案就浮出來了。
- 要湊立方數，質因數的指數必須是 3 的倍數。同理要湊平方數就要湊成 2 的倍數。這個判準很好用。
- 2025 = 3⁴ × 5² = 45²，值得記住。但也要小心 —— 本題正是用 45² 當誘餌。
- 算完一定回代。45 × 27 = 1215 ≠ 2025，一秒就能發現錯。回代驗算是這類題目最便宜的保險。
- 注意「r 為大於 1 的正整數」這個條件。它排除了 r = 1（那樣細菌不會增加）和分數解，讓答案唯一。
怎麼快速做 2025 的質因數分解？
2025 的末位是 5 → 一定能被 5 整除：
2025 ÷ 5 = 405 → 405 ÷ 5 = 81 → 81 = 3⁴
所以 2025 = 5² × 3⁴。
另一個快速判斷：2 + 0 + 2 + 5 = 9，各位數字和是 9 的倍數 → 能被 9 整除；
2025 ÷ 9 = 225，225 ÷ 9 = 25 → 2025 = 9 × 9 × 25 = 3⁴ × 5²，同樣的結果。
類題自我檢測
1. 某細菌 a 個，每天變為 r 倍（r 為大於 1 的正整數），4 天後變成 1250 個，求 a + r。
2. 某細菌 a 個，每天變 r 倍，3 天後變成 1080 個，求所有可能的 (a, r)。
看解答
1. a·r⁴ = 1250 = 2 × 5⁴。要湊四次方數 → 指數要是 4 的倍數 → 只能取 5⁴ = 625 → r = 5，a = 1250 ÷ 625 = 2 → a + r = 7。
驗算：2 → 10 → 50 → 250 → 1250 ✓
2. 1080 = 2³ × 3³ × 5。可以湊出的立方數（r > 1）有：
・2³ = 8 → r = 2、a = 135
・3³ = 27 → r = 3、a = 40
・(2×3)³ = 216 → r = 6、a = 5
三組都成立！這題示範了：當質因數的指數夠多時，答案可能不唯一，
要看題目有沒有其他條件來限制。
我的原始作答
草稿上寫了「a × r³ = 2025」—— 方程式完全正確，這是最難的一步，你做對了。
失分在後面用「2025 = 45 × 45」去湊 a，而不是把 2025 拆成質因數。
建議：列完式子後，下一行固定寫「2025 = ？」做質因數分解，
分解完再去挑立方數，路徑就唯一了。
最後務必養成回代習慣：把 a 和 r 代回原式算一次，
這題只要算 45 × 27 就會立刻發現不對。
複習標記
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