奇偶項和相減：12 項只配成 6 對
題目
- (A) 2/3
- (B) 4/3 ← 正確答案
- (C) 3/2
- (D) 3/4 ← 我選的
錯在哪裡
正確是 d = 8 ÷ 6 = 4/3，你寫成了 d = 6 ÷ 8 = 3/4。
選項刻意同時放進 4/3 和 3/4（還有 2/3 和 3/2）， 就是專門在抓這種「分子分母顛倒」的錯。
要避免這種錯，最好的方法是代回去檢查：
若 d = 3/4 → 6d = 6 × 3/4 = 4.5，但題目要求差是 8 ✗
若 d = 4/3 → 6d = 6 × 4/3 = 8 ✓
另一個要小心的地方是「幾個 d」：12 項的數列，奇數項有 6 項、偶數項有 6 項， 配成 6 對，所以是 6d，不是 12d（那會得到 2/3，正是選項 (A) 的陷阱）。
正確解法
12 項的數列 a₁, a₂, …, a₁₂：
奇數項（位置是奇數）：a₁, a₃, a₅, a₇, a₉, a₁₁ → 共 6 項，和 = 10
偶數項（位置是偶數）：a₂, a₄, a₆, a₈, a₁₀, a₁₂ → 共 6 項，和 = 18
把它們前後配成 6 對，每一對都剛好差一個公差 d：
| 配對 | a₂−a₁ | a₄−a₃ | a₆−a₅ | a₈−a₇ | a₁₀−a₉ | a₁₂−a₁₁ | 合計 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 差 | d | d | d | d | d | d | 6d |
18 − 10 = 6d → 6d = 8 → d = 8/6 = 4/3 答案 (B) 4/3。
奇數項和 = a₁ + a₃ + … + a₁₁ = 6a₁ + (0+2+4+6+8+10)d = 6a₁ + 30d
6a₁ + 30 × (4/3) = 10 → 6a₁ + 40 = 10 → a₁ = −5 偶數項和 = 6a₁ + (1+3+5+7+9+11)d = 6(−5) + 36 × (4/3) = −30 + 48 = 18 ✓
兩個條件都對上了。
把整個數列列出來看
a₁ = −5、d = 4/3：
| 項次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 值 | −5 | −11/3 | −7/3 | −1 | 1/3 | 5/3 | 3 | 13/3 | 17/3 | 7 | 25/3 | 29/3 |
奇數項和 = −5 − 7/3 + 1/3 + 3 + 17/3 + 25/3 = 10 ✓ 偶數項和 = −11/3 − 1 + 5/3 + 13/3 + 7 + 29/3 = 18 ✓
要記住的觀念
- 偶數項和 − 奇數項和 = (對數) × d。這是等差數列最好用的公式之一，記起來能秒殺一整類題目。
- 共 2n 項時，奇偶各 n 項，配成 n 對。12 項 → 6 對 → 6d。不是 12d。
- 解 6d = 8 時想清楚方向：d = 8 ÷ 6。「係數在左邊，就用右邊除以係數」。
- 看到選項有 4/3 和 3/4 同時出現，就是顛倒陷阱。算完務必代回檢查。
- 方向感檢查：偶數項在後面，若 d > 0 則偶數項和應該比較大。本題 18 > 10，所以 d 必為正 ✓。 如果算出負數，就知道一定哪裡錯了。
- 公差不一定是整數。看到 4/3 這種分數不要慌，等差數列的公差可以是任何實數。
如果題目改成「奇數個項」怎麼辦？
例如共 11 項：奇數項有 a₁, a₃, …, a₁₁ 共 6 項，偶數項有 a₂, a₄, …, a₁₀ 共 5 項，
個數不一樣，就不能直接一對一配對相減了。
這時要老實用求和公式：
奇數項和 = 6a₁ + (0+2+4+6+8+10)d = 6a₁ + 30d
偶數項和 = 5a₁ + (1+3+5+7+9)d = 5a₁ + 25d
再解聯立。
所以「配對相減」這招的前提是「總項數為偶數」，用之前先數一下項數。
類題自我檢測
1. 一等差數列共 20 項，奇數項和為 100、偶數項和為 130，求公差。
2. 一等差數列共 12 項，奇數項和為 30、偶數項和為 12，求公差。
看解答
1. 20 項 → 奇偶各 10 項 → 配成 10 對：
10d = 130 − 100 = 30 → d = 3
2. 12 項 → 6 對：6d = 12 − 30 = −18 → d = −3
公差是負數，代表數列遞減 —— 這也和「偶數項和比較小」相符 ✓
相減時要用「偶 − 奇」的順序，才會得到正確的正負號。
我的原始作答
這題你其實已經走到最後一步了 —— 找到「差是 8」和「有 6 對」都對，
只在最後一個除法翻了車，非常可惜。
建議把式子寫成「6d = 8」再解，不要在腦中直接跳到分數；
寫成等式後，「兩邊同除以 6」就不會弄反。
再加一道保險：把答案乘回去檢查 —— 6 × (4/3) = 8 ✓，
三秒鐘就能確認，這種分數顛倒的錯就永遠不會發生。
複習標記
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