矩形滾動：週期是「周長 16」，不是 8
題目
- (A) A
- (B) B ← 我選的
- (C) C ← 正確答案
- (D) D
錯在哪裡
你的草稿寫了：
−3 + 8(n − 1) = 101 → 8n − 8 = 104 → 8n = 112 → n = 14 式子解得很漂亮，但 8 這個數字用錯了。
8 = 5 + 3 是長加寬（半個周長），代表「滾兩次」走的距離； 但一個頂點要再次回到地面，必須把矩形整整滾完一圈，也就是走完周長 16。
用 8 當週期，會把 A 和 C 的著地點混在一起 （A 在 13、C 在 5，兩者剛好差 8）—— 所以才會算出「有解」卻選錯字母。
正確做法：先老實列出「一圈之內」四個頂點各自著地在哪裡，再各加 16 的倍數。
正確解法
AB = 2 − (−3) = 5（長）、BC = 3 − 0 = 3（寬）
周長 = 2 × (5 + 3) = 16 滾一圈前進 16，每個頂點的著地位置就以 16 為週期重複。
| 狀態 | 貼在 x 軸上的邊 | 邊長 | 新落地的頂點與位置 |
|---|---|---|---|
| 起始 | AB（A 在 −3、B 在 2） | 5 | A → −3、B → 2 |
| 以 B(2) 為軸滾 | BC | 3 | C → 2 + 3 = 5 |
| 以 C(5) 為軸滾 | CD | 5 | D → 5 + 5 = 10 |
| 以 D(10) 為軸滾 | DA | 3 | A → 10 + 3 = 13 |
| 以 A(13) 為軸滾 | AB | 5 | B → 13 + 5 = 18 |
滾到這裡，矩形已經恢復成一開始的姿態（AB 貼地），而且整體前進了 16 ✓
| 頂點 | 著地位置 | 通式（k = 0, 1, 2, …） | 除以 16 的餘數 |
|---|---|---|---|
| B | 2, 18, 34, 50, … | 2 + 16k | 2 |
| C | 5, 21, 37, 53, … | 5 + 16k | 5 |
| D | 10, 26, 42, 58, … | 10 + 16k | 10 |
| A | −3, 13, 29, 45, … | 13 + 16k | 13 |
（A 的起始位置 −3 也符合：−3 = 13 − 16，也就是 k = −1 的情形。）
101 ÷ 16 = 6 … 餘 5 也就是 101 = 5 + 16 × 6 餘數 5 對應到的是 C → 答案 (C)。
（C 在滾第 6 圈之後正好落在 101 這個位置。）
直接驗算 C 的位置
而 A 的著地點是 13, 29, 45, 61, 77, 93, 109 —— 跳過了 101 ✗
要記住的觀念
- 多邊形滾動的週期 = 周長。矩形周長 = 2(長+寬) = 16。滾完一圈才會恢復原本的姿態。
- 不要用「長 + 寬」當週期。5 + 3 = 8 只是滾兩次的距離，那時矩形是側躺的，姿態不同。
- 先把「一圈內」的著地點老實列出來（2、5、10、13），再加 16k。這是最不會錯的做法。
- 用「除以周長取餘數」判斷落點。101 ÷ 16 餘 5 → 對應 C。餘數法是處理週期問題的標準工具。
- 滾動時是「繞著最前面的頂點轉」。下一段貼地的邊長，就是接下來要前進的距離。畫個小圖比想像可靠。
- 算出「有整數解」不代表選對。本題用 8 也解得出 n = 14，但對應的字母是錯的。解得出來 ≠ 解對了。
為什麼滾動的距離剛好等於邊長？
因為題目說「沒有滑動」。矩形以某個頂點為支點轉動時，
原本貼地的那條邊會離開地面，下一條邊會整條貼上去 ——
貼上去的長度就是那條邊的長度，所以圖形前進的距離 = 那條邊的邊長。
按順序貼地的邊是 AB(5) → BC(3) → CD(5) → DA(3) → AB(5) → …
加起來 5+3+5+3 = 16 = 周長，然後開始重複。
這就是「滾動的週期等於周長」的原因，任何多邊形都適用（正三角形滾動週期就是 3 邊之和）。
類題自我檢測
1. 同一個矩形繼續滾動，哪一點會經過 (58, 0)？
2. 哪一點會經過 (200, 0)？
看解答
1. 58 ÷ 16 = 3 … 餘 10 → 對應 D。（D 的著地點：10, 26, 42, 58 ✓）
2. 200 ÷ 16 = 12 … 餘 8。
餘數 8 不在 {2, 5, 10, 13} 之中 → 四個頂點都不會經過 (200, 0)！
這是很重要的提醒：不是每個整數點都會被頂點踩到。
一圈 16 的距離裡只有 4 個著地點，遇到餘數對不上時，正確答案就是「都不會」。
我的原始作答
草稿上的「−3 + 8(n−1) = 101 → 8n = 112」代數操作完全正確，
顯示你已經掌握「等差數列 + 週期」的解題架構 —— 這是最重要的部分。
唯一的問題是週期取成 8 而不是 16。
下次遇到滾動題，先做一件事：把矩形實際滾 4 次，
在數線上標出 2、5、10、13 這四個著地點。
畫完再寫通式，週期是多少、哪個字母對應哪個餘數，就一目瞭然了。
複習標記
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