中垂線把 DC 換成 DA：甲的路徑會被「拉直」成一整條 AB
題目
圖中 ∠1 為 E 點處由 EC 與 ED（AB 向下的方向）所夾的角； ∠2 為 C 點處由 CD 與 CA 所夾的角。
請根據上述資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：
(1) 請根據圖中標示的角，說明 ∠1 > ∠2 的理由。
(2) 甲、乙兩人到此公園健走，甲走一趟 BD ＋ CD；乙走一趟 AE ＋ CE， 請問甲、乙哪一個人所走的路徑較短？
（原圖只拍到紅筆訂正的答案「甲」，完整作答不在畫面中，故本頁不標示當時的解題過程。）
錯在哪裡
中垂線最重要的性質是：線上任一點到兩端點等距。 D 在 AC 的中垂線上，所以 DA ＝ DC 只要沒有寫出這一行，(1) 和 (2) 都做不下去。
(1) 的重點：把 DA ＝ DC 轉成「角相等」。 DA ＝ DC → △DAC 是等腰三角形 → ∠DAC ＝ ∠DCA 而 D 在 AB 上，所以 ∠DAC 其實就是三角形的 ∠A（∠BAC）： ∠2 ＝ ∠DCA ＝ ∠DAC ＝ ∠A 接著用外角定理處理 ∠1 就結束了。
(2) 的重點：不要去算長度，而是「把線段換掉」。 題目沒有給任何數字，所以答案一定來自「代換 ＋ 不等式」，不是計算。 甲 ＝ BD ＋ CD ＝ BD ＋ DA（用 DA 換掉 DC）＝ AB（因為 A、D、B 共線） 甲的路徑被「拉直」成一整條 AB——這是本題最漂亮的一步。
乙 ＝ AE ＋ CE ＞ AC（△AEC 中，兩邊和大於第三邊） 又 AB ＝ AC（等腰） → 乙 ＞ AC ＝ AB ＝ 甲 所以甲比較短。
常見的失分： ① 只寫「甲比較短」沒有理由（非選題會被扣光過程分）； ② 想用畢氏定理硬算長度（題目沒給數字，算不出來）； ③ 知道 DA ＝ DC，卻沒想到要把它代進路徑裡。
正確解法
DA ＝ DC → △DAC 為等腰三角形 → ∠DAC ＝ ∠DCA（等邊對等角） 因為 D 在 AB 上，射線 AD 就是射線 AB，所以 ∠DAC ＝ ∠BAC ＝ ∠A： ∠2 ＝ ∠DCA ＝ ∠A
A、E、D 三點共線（都在 AB 上），所以 ∠AEC 與 ∠1 互為補角， ∠1 就是 △AEC 在頂點 E 的外角： ∠1 ＝ ∠EAC ＋ ∠ECA ＝ ∠A ＋ ∠ACE（外角等於兩個不相鄰內角的和） 因為 ∠ACE ＞ 0： ∠1 ＝ ∠A ＋ ∠ACE ＞ ∠A ＝ ∠2 故 ∠1 ＞ ∠2。得證。 也可以直接引用外角定理的另一種說法： 「三角形的一個外角大於任何一個不相鄰的內角」， 所以 ∠1 ＞ ∠EAC ＝ ∠A ＝ ∠2。
E 不在線段 AC 上，所以 A、E、C 可以構成三角形： 在 △AEC 中：AE ＋ EC ＞ AC（兩邊之和大於第三邊） 又 AB ＝ AC（△ABC 為等腰三角形） → 乙 ＝ AE ＋ CE ＞ AC ＝ AB ＝ 甲 結論：甲所走的路徑較短。
| 步驟 | 要寫出來的句子 |
|---|---|
| 1 | ∵ DM 垂直平分 AC，D 在中垂線上 ∴ DA ＝ DC |
| 2 | ∴ △DAC 為等腰三角形 ∴ ∠DCA ＝ ∠DAC ＝ ∠A，即 ∠2 ＝ ∠A |
| 3 | ∵ ∠1 為 △AEC 的外角 ∴ ∠1 ＝ ∠A ＋ ∠ACE ＞ ∠A ＝ ∠2 |
| 4 | 甲 ＝ BD ＋ CD ＝ BD ＋ DA ＝ AB |
| 5 | 在 △AEC 中，AE ＋ EC ＞ AC；又 AB ＝ AC ∴ 乙 ＞ AB ＝ 甲 |
| 6 | 答：甲所走的路徑較短。 |
要記住的觀念
- 中垂線的性質與逆敘述（兩個方向都要會用）： P 在 AB 的中垂線上 ⇔ PA ＝ PB 看到「垂直平分」四個字，第一件事就是寫下這個等距關係。 它的用途是「把一條線段換成另一條」，這正是本題第 2 小題的關鍵。
- 外角定理的兩種寫法： ① 外角 ＝ 兩個不相鄰內角之和（可用來計算） ② 外角 大於任一個不相鄰的內角（可用來比大小） 題目問「說明 ∠1 ＞ ∠2」時，用 ① 再加一句「因為另一個角大於 0」最完整。
- 三角形的三個不等關係，比大小題一定會用到： ① 兩邊之和 ＞ 第三邊（本題第 2 小題） ② 大邊對大角、大角對大邊 ③ 外角 ＞ 不相鄰的內角（本題第 1 小題） 沒有給數字卻要你比大小，答案一定在這三條之中。
- 「兩點之間直線最短」的實戰版：把折線換成直線。 甲的路徑 BD ＋ DC 原本是折的，用 DC ＝ DA 換掉之後就變成一整條 AB。 看到「哪條路徑比較短」，先想：能不能把某一段換成另一段，讓折線拉直？ （同一招也用在「將軍飲馬」「河邊取水」等最短路徑問題。）
- 等腰三角形的兩個方向： 等邊對等角（AB ＝ AC → ∠B ＝ ∠C）； 等角對等邊（∠B ＝ ∠C → AB ＝ AC）。 本題用了兩次：△ABC 與 △DAC 各一次。
類題自我檢測
△ABC 中，AB ＝ AC ＝ 10。P 為 BC 的中垂線與 AB 的交點（P 在 AB 上）。
若甲走 AP ＋ PC、乙走 AC，則兩人所走的距離關係為何？
(A) 甲 ＞ 乙 (B) 甲 ＝ 乙 ＝ 10 (C) 甲 < 乙 (D) 無法判斷
看解答
(B) 甲 ＝ 乙 ＝ 10。
P 在 BC 的中垂線上 → PB ＝ PC
甲 ＝ AP ＋ PC ＝ AP ＋ PB ＝ AB（A、P、B 共線）＝ 10
乙 ＝ AC ＝ 10（等腰）
兩人一樣長。
和原題完全同一招：用中垂線的等距性質把「折線」換成「一整條邊」。
差別只在原題的中垂線是 AC 的（換出 AB），這題是 BC 的（也換出 AB）。
我的原始作答
原圖上有紅筆寫下的答案「甲」，代表第 2 小題的結論是對的。
非選題真正的分數在「過程」，所以複習時請照 Step 5 的骨架把六行完整寫一次。
建議固定動作①：看到「垂直平分」，馬上在圖上把兩段相等的線段標成同一個記號。
本題就是在 DA 與 DC 上各畫一道斜線。
建議固定動作②：比較路徑長度時，先問「能不能把某一段換掉，讓折線變直線」。
建議固定動作③：題目沒有給任何數字，就代表答案來自「性質＋不等式」，不要去湊數字硬算。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。