錯題解析

菱形的面積 ÷ 邊長＝高：先把那條高畫出來，再用畢氏定理

數學．第 4 冊．2026/08/06．第 23 題　|　主題：菱形的性質．畢氏定理．等腰三角形

題目

如圖(十七)，菱形 ABCD 中，P 為 AB 上的一點，且 PA ＝ PD。若菱形 ABCD 的周長為 20，且面積為 15，則 PA ＝？

(A) ⁵⁄₂
(B) 3
(C) ²⁵⁄₈　←　正確答案
(D) ²⁵⁄₆

正確答案：(C) 25/8邊長 5、高 3 → 4² + 3² 的關係 → t² ＝ (t−4)² + 9

（原圖只拍到紅筆訂正的正解，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

最容易掉進去的陷阱：把「PA ＝ PD」看成「P 是 AB 的中點」，直接答 5/2。
P 是中點的條件是 PA ＝ PB，不是 PA ＝ PD。 PA ＝ PD　→　P 在 AD 的中垂線上（P 到 A、D 等距） PA ＝ PB　→　P 是 AB 的中點 兩個條件完全不同，答案自然不同。 （選項 (A) 5/2 正好就是 AB 的一半，出題者故意放在第一個。）

第二個關卡：菱形給的是「周長」與「面積」，要先各換成一個長度。 周長 20　→　四邊等長　→　邊長＝ 5 面積 15 ＝底 × 高＝ 5 × 高　→　高＝ 3 菱形是平行四邊形，面積用「底 × 高」； 如果誤用「兩對角線相乘除以 2」，會多出兩個未知數而卡住。 （選項 (B) 3 就是「把高當成答案」的結果。）

第三個關卡：算出高 3 之後，要把它畫成一條「垂線」，才用得上畢氏定理。 從 D 向 AB 作垂線，垂足設為 H： DH ＝ 3（高），AD ＝ 5（邊長）　→　AH ＝ √(25 − 9) ＝ 4 「3、4、5」直角三角形就這樣出現了——這是本題的關鍵配置。

正確解法

Step 1　由周長與面積求出邊長與高
邊長＝ 20 ÷ 4 ＝ 5 面積＝底 × 高　→　15 ＝ 5 × 高　→　高＝ 3 菱形四邊等長，所以以哪一邊為底都一樣。

Step 2　從 D 向 AB 作垂線，垂足為 H，把「3、4、5」找出來

DH ＝ 3（高）＋ AD ＝ 5（邊長）→ 畢氏 → AH ＝ 4

AH ＝ √(AD² − DH²) ＝ √(25 − 9) ＝ √16 ＝ 4 作垂線是這題唯一需要「加線」的地方；不作垂線就沒有直角三角形可用。

Step 3　設 PA ＝ PD ＝ t，在直角三角形 PHD 中列式
P 在 AB 上，H 也在 AB 上，且 AH ＝ 4，AP ＝ t： PH ＝ |AH − AP| ＝ |4 − t| 在 △PHD 中（∠PHD ＝ 90°）： PD² ＝ PH² ＋ DH² t² ＝ (4 − t)² ＋ 3²

Step 4　解方程式
t² ＝ 16 − 8t ＋ t² ＋ 9 0 ＝ 25 − 8t t ＝ ²⁵⁄₈ 答案 (C)。 注意 t² 會兩邊消掉——這是「等距離」題型的共同特徵， 最後一定是一次方程式，不必解一元二次。 如果你解出來還留著平方項，代表某一步展開錯了。

Step 5　驗算與合理性檢查
PA ＝ ²⁵⁄₈ ＝ 3.125，PH ＝ |4 − 3.125| ＝ 0.875 PD ＝ √(0.875² ＋ 3²) ＝ √(0.7656 ＋ 9) ＝ √9.7656 ≈ 3.125 ✓ 合理性：PA ＝ 3.125 < AB ＝ 5，P 確實落在 AB 上 ✓ 若算出來大於 5，就代表 P 跑到 AB 的延長線上，要回頭檢查。

Step 6　把四個選項的來源看清楚

選項	怎麼來的	錯在哪
(A) 5/2	AB ÷ 2	把 PA ＝ PD 誤看成 PA ＝ PB（以為 P 是中點）
(B) 3	菱形的高	算出高就交卷，沒有再往下求 PA
(C) 25/8	t² ＝ (4 − t)² ＋ 9	正確
(D) 25/6	t² ＝ (3 − t)² ＋ 4²（把 3 和 4 對調）	把「高」與「水平距離」放錯位置

(D) 特別值得注意：它的解法架構完全正確，只是 3 和 4 的角色互換。 作圖時把垂足 H 標出來，就不會弄混哪一段是高、哪一段在 AB 上。

要記住的觀念

菱形的性質，一次記齊： ① 四邊等長　② 是平行四邊形（對邊平行、對角相等） ③ 兩對角線互相垂直平分　④ 對角線平分內角。 面積＝ 底 × 高 ＝ 兩對角線乘積 ÷ 2 題目給周長與面積 → 用「底 × 高」；給兩對角線 → 用「乘積 ÷ 2」。 選對公式，就不會多出未知數。
「某點到兩點等距」的三種處理方式： ① 該點在那兩點連線的中垂線上 ② 圍出一個等腰三角形（兩底角相等） ③ 設成 t，用畢氏定理列一條方程式　←　本題用這個 ③ 最直接：t² ＝ (已知距離 − t)² ＋高²，t² 會消掉。
看到「等距＋直角」就設未知數列畢氏。 這類題的固定形狀是： t² ＝ (a − t)² ＋ h²　→　t ＝ (a² ＋ h²) ÷ 2a 本題 a ＝ 4、h ＝ 3 → t ＝ (16 ＋ 9) ÷ 8 ＝ 25/8。 這個公式在「折疊問題」「摺紙問題」也一直出現。
幾何題卡住時，優先考慮「作高」。 平行四邊形、菱形、梯形、三角形—— 只要題目給了面積，幾乎都需要把高畫出來。 高一畫，直角三角形就出現，畢氏定理就能用。
常見的畢氏三數組要背熟，看到就能秒認： (3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(8, 15, 17)、(7, 24, 25) 及其倍數 (6, 8, 10)、(9, 12, 15)。 本題出現 5 與 3，立刻要想到另一邊是 4。

類題自我檢測

平行四邊形 ABCD 中，AD ＝ 5，D 到 AB 的距離為 4，且 AB ＝ 13。若 P 為 AB 上一點且 PA ＝ PD，則 PA ＝？
(A) ¹³⁄₂　(B) ²⁵⁄₆　(C) 4　(D) 5

看解答

(B) 25/6。
從 D 向 AB 作垂線，垂足 H：DH ＝ 4、AD ＝ 5 AH ＝ √(25 − 16) ＝ 3（又是 3、4、5）設 PA ＝ PD ＝ t： t² ＝ (3 − t)² ＋ 4² ＝ 9 − 6t ＋ t² ＋ 16 6t ＝ 25　→　t ＝ ²⁵⁄₆ (A) 13/2 又是「以為 P 是中點」的陷阱。
對照原題：那題 a ＝ 4、h ＝ 3 得 25/8；這題 a ＝ 3、h ＝ 4 得 25/6。 公式 t ＝ (a² ＋ h²) ÷ 2a 一體適用——這也說明了原題選項 (D) 25/6 是怎麼被算出來的。

我的原始作答

這一份的作答欄沒有拍進畫面，不過本題的三個關卡很值得逐一檢查：
① 有沒有把「PA ＝ PD」誤讀成「P 是中點」？（會答 5/2）
② 有沒有把周長 20、面積 15 換成「邊長 5、高 3」？（只算到高會答 3）
③ 有沒有作垂線、把 3 和 4 的位置放對？（放反會答 25/6）
建議固定動作：讀完題目先在圖上補三樣東西—— 標上每邊的長度 5、從 D 作一條垂線並標高 3、算出並標上 AH ＝ 4。 圖標完整，方程式幾乎是自己寫出來的。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記