錯題解析

兩塊面積相差 25：補上同一塊「共同部分」，P 點就消失了

數學．第 4 冊．2026/08/06．第 20 題　|　主題：面積的加減湊補．正方形與相似三角形

題目

如圖(十四)，正方形 ABCD 中，AD ＝ 10，E 為 CD 上一點，且 DE ＝ 7，在 AB 的延長線上取 F 點，連接 EF 並交 BC 於 P 點。若 △PBF 的面積比 △PCE 的面積多 25，則 BF ＝？

(A) 6
(B) 7
(C) 8　←　正確答案
(D) 9

正確答案：(C) 8△AFE ＝ 100 − 35 + 25 ＝ 90 → AF ＝ 18 → BF ＝ 8

（原圖只拍到紅筆訂正的正解與計算過程，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

直接去算 △PBF 與 △PCE，會被「P 點的位置」卡死。
原圖上的算式「³⁄₂x ＋ 25 ＝ (10 − x) × BF × ¹⁄₂」正是這條路：設 CP ＝ x，然後同時出現 x 與 BF 兩個未知數，還要再列一條相似比才能解，算式會變成分數方程式，很容易在中途出錯。

更快的想法：「相差 25」不必真的把兩塊面積分別算出來。 △PBF − △PCE ＝ 25 只要在兩邊「同時加上同一塊面積」，等號依然成立，而只要加對那一塊，P 點就會被吸收掉，兩個奇怪的三角形會變成兩個好算的圖形。

要加的那一塊，就是四邊形 ABPE（△PBF 與 △PCE 之間夾著的那塊）： △PBF ＋四邊形 ABPE ＝ △AFE（一個大三角形，底 AF、高 10） △PCE ＋四邊形 ABPE ＝正方形 ABCD − △ADE ＝ 100 − 35 ＝ 65 兩式相減，四邊形 ABPE 消掉，P 點也不見了： △AFE − 65 ＝ 25　→　△AFE ＝ 90 剩下的只是一個「已知面積求底」的小學問題。

正確解法

Step 1　先把已知的面積算出來

圖形	算法	面積
正方形 ABCD	10 × 10	100
△ADE	½ × AD × DE ＝ ½ × 10 × 7	35
EC	DC − DE ＝ 10 − 7	3

Step 2　把正方形切成三塊，寫出四邊形 ABPE

正方形 ABCD＝四邊形 ABPE＋ △PCE＋ △ADE

四邊形 ABPE ＝ 100 − △PCE − 35 ＝ 65 − △PCE

Step 3　△AFE 也可以切成兩塊
因為 A、B、F 共線（F 在 AB 的延長線上），且 P 在 EF 上：

△AFE＝四邊形 ABPE＋ △PBF

△AFE ＝ (65 − △PCE) ＋ △PBF ＝ 65 ＋ (△PBF − △PCE) ＝ 65 ＋ 25 ＝ 90 題目給的「相差 25」在這裡一次用完，四邊形 ABPE 自動消掉。

Step 4　由 △AFE 的面積求 AF，再求 BF
△AFE 以 AF 為底（在直線 AB 上）， 高就是 E 到直線 AB 的距離＝正方形的邊長 10： ½ × AF × 10 ＝ 90　→　AF ＝ 18 BF ＝ AF − AB ＝ 18 − 10 ＝ 8 答案 (C)。 注意「高」不是 DE 也不是 EC，而是 E 到 AB 的垂直距離—— E 在 DC 上，DC 與 AB 距離就是邊長 10。

Step 5　驗算（用相似三角形把 P 找出來）
∠BPF ＝ ∠CPE（對頂角），∠B ＝ ∠C ＝ 90°　→　△PBF ∼ △PCE BP : CP ＝ BF : CE ＝ 8 : 3 BP ＝ 10 × ⁸⁄₁₁ ＝ ⁸⁰⁄₁₁、 CP ＝ 10 × ³⁄₁₁ ＝ ³⁰⁄₁₁ △PBF ＝ ½ × 8 × ⁸⁰⁄₁₁ ＝ ³²⁰⁄₁₁、 △PCE ＝ ½ × 3 × ³⁰⁄₁₁ ＝ ⁴⁵⁄₁₁ 相差＝ ²⁷⁵⁄₁₁ ＝ 25 ✓ 與題目相符 驗算也順便說明了：如果一開始就走這條路，會出現 11 分母的分數，非常容易算錯。

要記住的觀念

看到「面積相差 ○」，先想「兩邊同加一塊」而不是硬算。 甲 − 乙＝ 25　→　(甲＋共同部分) − (乙＋共同部分) ＝ 25 加對那一塊，難算的圖形就會併成好算的圖形——這叫「湊補法」，是幾何面積題最重要的一招。
怎麼知道要加哪一塊？找「夾在兩塊中間、把它們接起來」的那一塊。 本題兩個三角形分別在 P 點的兩側， 中間夾的正是四邊形 ABPE；加上去之後，一邊變成 △AFE、一邊變成 正方形 − △ADE，兩個都是已知或好算的。
三角形面積要認清「底」與「高」是配套的： 本題以 AF 為底，高就是 E 到直線 AB 的距離＝ 10。 底在哪條線上，高就是「對面那個頂點到這條線的距離」。 因為 DC ∥ AB，E 在 DC 上任何位置，到 AB 的距離都是 10—— 這也是為什麼 DE ＝ 7 只用在算 △ADE，不會影響高。
兩線相交形成的「蝴蝶形」，兩個三角形通常相似： 對頂角相等＋一組直角（或平行線的內錯角）→ AA 相似。 相似比＝對應邊比，本題 BP : CP ＝ BF : CE。
比較兩種解法的成本： 湊補法：只要算 100、35、90 三個整數，三行解決； 直接法：要設兩個未知數、列相似比、解分數方程式， 會出現 30/11 這種數字。 考試時先花十秒想「有沒有可以湊補的圖形」，往往能省下五分鐘。

類題自我檢測

正方形 ABCD 的邊長為 12，E 在 CD 上且 DE ＝ 4，F 在 AB 的延長線上， EF 交 BC 於 P。若 △PBF 的面積比 △PCE 的面積多 12，則 BF ＝？
(A) 8　(B) 10　(C) 12　(D) 14

看解答

(B) 10。
正方形＝ 12² ＝ 144；△ADE ＝ ½ × 12 × 4 ＝ 24 △AFE ＝ (144 − 24) ＋ 12 ＝ 132 ½ × AF × 12 ＝ 132　→　AF ＝ 22 BF ＝ AF − 12 ＝ 10 驗算：EC ＝ 8，△PBF ∼ △PCE → BP : CP ＝ 10 : 8 ＝ 5 : 4 → BP ＝ ²⁰⁄₃、CP ＝ ¹⁶⁄₃； △PBF ＝ ¹⁰⁰⁄₃、△PCE ＝ ⁶⁴⁄₃，相差＝ 12 ✓
三步流程完全相同： △AFE ＝（正方形 − △ADE）＋差值　→　由面積回推 AF　→　BF ＝ AF − 邊長

我的原始作答

原圖上的算式「³⁄₂x ＋ 25 ＝ (10 − x) × BF × ¹⁄₂」顯示方向是對的（有正確用到 EC ＝ 3、BP ＝ 10 − x）， 但式子裡同時有 x 與 BF 兩個未知數，缺少第二條式子（相似比）就解不出來。
建議固定動作①：列式後先數一數「有幾個未知數、有幾條式子」。 未知數比式子多，就代表還有條件沒用到。
建議固定動作②：面積題卡住時，先問「能不能兩邊同加一塊，把圖形補完整」。 本題補上四邊形 ABPE 之後，P 點就完全不必理會了。

複習標記

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