錯題解析

「一組對邊平行」只能推出梯形——要再加一個條件才是平行四邊形

數學．第 4 冊．2026/08/06．第 19 題　|　主題：平行四邊形的判定．內錯角與同側內角

題目

如圖(十三)，四邊形 ABCD 與四邊形 CEFG 中， AD ＝ BC，D 點在 CG 上，B、C、E 三點在同一直線上。 圖中標示的角為：
∠DAC ＝ 45°、∠ABC ＝ 75°、∠ACB ＝ 45°、 ∠FGC ＝ 110°、∠GFE ＝ 70°。
根據圖中的數據，判斷四邊形 ABCD 與四邊形 CEFG 的形狀，下列敘述何者正確？
  1. (A) 兩者都是平行四邊形
  2. (B) 兩者都不是平行四邊形
  3. (C) 只有四邊形 CEFG 是平行四邊形
  4. (D) 只有四邊形 ABCD 是平行四邊形　←　正確答案
正確答案：(D)ABCD：一組對邊平行且相等；CEFG：只知道一組對邊平行
題目原文

（原圖只拍到紅筆訂正的正解，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

兩個四邊形都「看起來」很像平行四邊形，但只有一個能被證明。

ABCD：兩個條件都齊了。 ∠DAC ＝ ∠ACB ＝ 45°　（AC 截 AD 與 BC 的內錯角相等）→　AD ∥ BC 題目又給了 AD ＝ BC 「一組對邊平行且相等」→ 平行四邊形 ✓

CEFG：只有一個條件。 ∠G ＋ ∠F ＝ 110° ＋ 70° ＝ 180°　（GF 截 GC 與 FE 的同側內角互補）→　GC ∥ FE 但題目沒有給「GC ＝ FE」，也沒有給「CE ∥ GF」。 只知道一組對邊平行，最多只能說它是「梯形」。

最容易犯的錯：看到 110° 與 70° 互補，就直接說「所以是平行四邊形」。 互補只能推出「平行」，推不出「相等」。 更進一步算下去會發現它根本不是平行四邊形（見 Step 3）。

另一個常見錯誤：把 ∠DAC ＝ 45° 當成 ∠DAB。 圖上的 45° 是在 AD 與對角線 AC 之間，不是整個 ∠A。 看角度標記時，一定要確認它夾在哪兩條線之間。

正確解法

Step 1　先證明 ABCD 是平行四邊形
∠DAC ＝ 45°＝ ∠ACB ＝ 45°→ 內錯角相等 → AD ∥ BC
再加上題目給的 AD ＝ BC 由「一組對邊平行且相等」的判別法 → ABCD 是平行四邊形。 用到的是 AC 這條對角線：它同時是 AD 與 BC 的截線， 所以 ∠DAC 與 ∠ACB 才會是內錯角。畫出截線，內錯角就找得到。
Step 2　CEFG 只能推到「一組對邊平行」
∠G ＝ 110°＋ ∠F ＝ 70°＝ 180° → GC ∥ FE
到這裡只能確定它是梯形。 要成為平行四邊形，還必須再有下列其中一項： · GC ＝ FE（一組對邊平行且相等）　· CE ∥ GF（兩組對邊都平行） · 對角相等　· 對角線互相平分 題目一項都沒給。
Step 3　實際算出 ∠GCE，證明它「確實不是」平行四邊形
由 Step 1 已知 ABCD 是平行四邊形，所以： ∠BCD ＝ 180° − ∠ABC ＝ 180° − 75° ＝ 105°　（同側內角互補） 因為 B、C、E 共線： ∠DCE ＝ 180° − ∠BCD ＝ 180° − 105° ＝ 75° 又因為 D 在 CG 上（射線 CD 就是射線 CG）： ∠GCE ＝ ∠DCE ＝ 75° 若 CEFG 是平行四邊形，則對角相等：∠GCE 應該等於 ∠GFE ＝ 70°。 但實際上 ∠GCE ＝ 75° ≠ 70°　→　CEFG 不是平行四邊形 （也可以用內角和檢查：∠E ＝ 360° − 75° − 110° − 70° ＝ 105°， 而對角 ∠G ＝ 110°，兩組對角都不相等。） 所以答案是 (D) 只有四邊形 ABCD 是平行四邊形。

要記住的觀念

  • 平行四邊形的五種判別法（缺一不可，背熟才不會亂猜）： ① 兩組對邊分別平行 ② 兩組對邊分別相等 ③ 一組對邊平行「且」相等　←　本題 ABCD 用的 ④ 兩組對角分別相等 ⑤ 兩條對角線互相平分 特別注意 ③：「平行」與「相等」必須是同一組對邊，而且兩個條件都要有。 「一組對邊平行、另一組對邊相等」不能推出平行四邊形（可能是等腰梯形）——這是最經典的陷阱。
  • 由角度推平行的兩條路： 同位角相等 或 內錯角相等 → 兩線平行 同側內角互補（和為 180°） → 兩線平行 本題 ABCD 走的是「內錯角」，CEFG 走的是「同側內角」。
  • 「平行」推不出「相等」。 兩條平行線之間的線段可長可短， 所以只有平行時，最多只能說是梯形。
  • 平行四邊形的性質（判定成立之後才能用）： 對邊平行且相等、對角相等、鄰角互補、對角線互相平分。 本題 Step 3 就是先用「鄰角互補」求出 ∠BCD ＝ 105°。 判別法是「怎麼證明它是」，性質是「證明之後可以用什麼」——兩者方向相反，不要混用。
  • 看角度標記時，先確認它夾在哪兩條線之間。 本題的 45° 是 AD 與 AC（不是 AD 與 AB）， 看錯就會把 ∠A 當成 45°，整題垮掉。 做法：用手指沿著角的兩條邊各描一次。

類題自我檢測

四邊形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD。下列再加上哪一個條件， 仍無法保證 ABCD 是平行四邊形？
(A) AB ＝ CD　(B) AD ∥ BC　(C) AD ＝ BC　(D) ∠A ＝ ∠C

看解答

(C) AD ＝ BC。
因為「AB ∥ CD」與「AD ＝ BC」講的是不同的兩組對邊—— 一組平行、另一組相等，這樣的四邊形也可能是「等腰梯形」。
(A) 平行與相等是同一組（AB 與 CD）→ 判別法 ③ ✓
(B) 兩組對邊都平行 → 判別法 ① ✓
(D) AB ∥ CD 使 ∠A ＋ ∠D ＝ 180°，再由 ∠A ＝ ∠C 可推得 ∠C ＋ ∠D ＝ 180° → AD ∥ BC ✓
這一題就是在考「平行與相等必須同一組」——和原題 CEFG 的失分點完全相同。

我的原始作答

原始作答

這一份的作答欄沒有拍進畫面，不過本題的複習重點很清楚：
建議固定動作①：在每個四邊形旁邊列一張「條件清單」， 寫下「已知平行的是哪一組」「已知相等的是哪一組」。 ABCD 兩欄都填得滿；CEFG 只填得出「平行」一欄——差別立刻顯現。
建議固定動作②：把五個判別法默寫在考卷邊，一個一個對。 對不上任何一條，就不能說它是平行四邊形。
建議固定動作③：看到角度數字先確認它夾哪兩條邊。 本題的 45° 夾的是 AD 與對角線 AC，不是整個 ∠A。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記