數學第4冊 20260806-01 錯題解析

題目

如圖(十)，△ABC 中，∠A ＝ 90°，L 為 BC 的中垂線，且交 AC 於 D 點，交 BC 於 E 點。若 AC ＝ 8，且四邊形 ABED 面積：△CDE 面積＝ 5:3，則 AB 的長度為何？

(A) 6
(B) 3√5
(C) 4√2　←　正確答案
(D) 4√3

正確答案：(C) 4√2△CDE : △CBA ＝ 3 : 8 → BC² ＝ 96 → AB² ＝ 32

（原圖只拍到紅筆訂正的正解與計算過程，作答欄不在畫面中，故本頁不標示當時所選答案。）

錯在哪裡

第一個關卡：題目給的 5:3 不能直接拿來用。
相似三角形的面積比公式，比的是兩個「相似」的三角形； 但四邊形 ABED 不是三角形，它跟 △CDE 不相似，所以 5:3 不能直接套進 (邊長比)² 的公式。
要先把它換成「小三角形 : 大三角形」： △ABC ＝四邊形 ABED ＋ △CDE ＝ 5 ＋ 3 ＝ 8 份 →　△CDE : △CBA ＝ 3 : 8 直接把 3/5 代進公式，是這題最主要的錯法。

第二個關卡：中垂線給了兩個條件，不能只用一個。 「L 是 BC 的中垂線」同時代表： ① E 是 BC 的中點（平分）　→　CE ＝ BC ÷ 2 ② ∠DEC ＝ 90°（垂直）　→　△CDE 是直角三角形 有了 ②，才能說 △CDE 與 △CBA 相似（兩個都是直角三角形且共用 ∠C）。

第三個關卡：面積比開根號才是邊長比。 面積比＝ (邊長比)²　→　邊長比＝ √(面積比) 忘記開根號，或把面積比當邊長比用，是這一類題的固定失分點。

正確解法

Step 1　把面積比換成「兩個相似三角形」的比

ABED ＝ 5＋ △CDE ＝ 3＝ △ABC ＝ 8

△CDE : △CBA ＝ 3 : 8 看到「四邊形 : 三角形」，先把它們加起來還原成整個大三角形。

Step 2　說明 △CED ∼ △CAB
∠DEC ＝ 90° ＝ ∠BAC　（L ⊥ BC，且 ∠A ＝ 90°） ∠C ＝ ∠C　（共用） 兩角對應相等 → △CED ∼ △CAB（AA 相似）。 對應要寫清楚：C ↔ C、E ↔ A、D ↔ B。所以對應邊是 CE ↔ CA、ED ↔ AB、CD ↔ CB。

Step 3　用面積比求邊長比
△CED : △CAB ＝ (CE : CA)² ＝ 3 : 8 (CE ÷ 8)² ＝ ³⁄₈　→　CE² ＝ 64 × ³⁄₈ ＝ 24 CE ＝ √24 ＝ 2√6

Step 4　用「E 是中點」求 BC，再用畢氏定理求 AB
BC ＝ 2 × CE ＝ 2 × 2√6 ＝ 4√6　→　BC² ＝ 96 直角三角形 ABC：AB² ＋ AC² ＝ BC² AB² ＝ 96 − 8² ＝ 96 − 64 ＝ 32 AB ＝ √32 ＝ 4√2 答案 (C)。

Step 5　驗算（把數字全部代回去）

量	值	算法
AB	4√2	求得
BC	4√6	√(32 + 64) ＝ √96
CE	2√6	BC ÷ 2
CD	6	△CED ∼ △CAB：CD ＝ CB × (CE/CA) ＝ 4√6 × (2√6/8)
DE	2√3	√(CD² − CE²) ＝ √(36 − 24)
△CDE	6√2	½ × 2√6 × 2√3 ＝ 2√18
△ABC	16√2	½ × 8 × 4√2
ABED	10√2	16√2 − 6√2

ABED : △CDE ＝ 10√2 : 6√2 ＝ 5 : 3 ✓ 與題目相符

要記住的觀念

相似形的三個比，一定要分清楚： 邊長比＝ k　→　周長比＝ k　→　面積比＝ k² 由面積比回推邊長比要「開根號」；由邊長比求面積比要「平方」。
看到「四邊形 : 三角形」的面積比，先加起來還原成整體。 部分 : 部分　→　部分 : 全部 只有「相似的兩個圖形」才能套 k² 的公式，四邊形 ABED 不在其中。
「中垂線」是兩個條件的合體，兩個都要用： ① 平分：E 是 BC 的中點 ② 垂直：∠DEC ＝ 90° 另外還有一個常用性質：中垂線上的點到兩端點等距（本題的 DB ＝ DC）。 題目只要出現「中垂線」，就把這三件事全部寫在圖上。
「共用一個角＋都有直角」是最常見的相似組合。 直角三角形裡畫一條垂線，就會切出三個互相相似的三角形—— 看到垂足，先找相似。
寫相似時把「對應順序」寫對： △CED ∼ △CAB 代表 C↔C、E↔A、D↔B。 順序寫錯，對應邊就會配錯，比例式整條垮掉。 做法：先標出兩個三角形的「相等角」，再照角的順序寫字母。

類題自我檢測

△ABC 中，∠A ＝ 90°，AB ＝ 6、AC ＝ 8。若 D 在 AC 上、E 在 BC 上，且 DE ⊥ BC、E 為 BC 中點，則 △CDE 的面積為何？
(A) 6　(B) ⁷⁵⁄₈　(C) 12　(D) ²⁵⁄₂

看解答

(B) 75/8。
BC ＝ √(36 + 64) ＝ 10　→　CE ＝ 5 △CED ∼ △CAB，邊長比＝ CE : CA ＝ 5 : 8 面積比＝ (5/8)² ＝ ²⁵⁄₆₄ △CAB ＝ ½ × 6 × 8 ＝ 24　→　△CED ＝ 24 × ²⁵⁄₆₄ ＝ ⁷⁵⁄₈ (D) 25/2 是「忘了平方」（直接乘 5/8 × … 的變形）； (C) 12 是把 △CDE 當成 △ABC 的一半。
做法完全一樣：找相似 → 邊長比 → 平方成面積比。

我的原始作答

原圖旁邊有畫圖與標記（8、9、15 等數字），代表有動手嘗試，方向是對的。
建議固定動作①：看到「中垂線」，立刻在圖上寫三件事—— 「E 是中點」「∠DEC ＝ 90°」「DB ＝ DC」。
建議固定動作②：面積比題先把比例「補成整體」。 本題把 5 和 3 加起來變成 8，是整題的轉捩點。
建議固定動作③：寫下「面積比＝ (邊長比)²」再開始算。 把公式先寫出來，就不會忘記開根號。

複習標記

看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。

還沒標記