平方差連加：每一組都變成「兩數和 × 2」
題目
錯在哪裡
正確的第一步：每一組括號都用平方差公式拆開。 a² − b² = (a + b)(a − b) 100² − 98² = (100 + 98)(100 − 98) = 198 × 2 = 396 96² − 94² = (96 + 94)(96 − 94) = 190 × 2 = 380 注意每組的「差」都是 2（100−98 = 2、96−94 = 2、…）， 所以每組都變成 （兩數和）× 2 接下來只要把所有的「兩數和」加起來再乘 2 就好。
第二步：發現這些「兩數和」是等差數列。 198、190、182、…、6（每次減 8） 用等差級數和公式一次算完。
兩個容易失手的地方：
・項數數錯（少算或多算一組）
・忘記最後要乘 2
正確解法
| 原式 | = (a+b)(a−b) | 結果 |
|---|---|---|
| 100² − 98² | (100+98) × 2 | 198 × 2 |
| 96² − 94² | (96+94) × 2 | 190 × 2 |
| 92² − 90² | (92+90) × 2 | 182 × 2 |
| … | … | … |
| 4² − 2² | (4+2) × 2 | 6 × 2 |
198、190、182、…、6 首項 = 198，末項 = 6，公差 = 190 − 198 = −8 （公差是 −8，因為每組的兩個數字都往下跳 4，兩數和就少 8。）
項數 = (首項 − 末項) ÷ |公差| + 1 = (198 − 6) ÷ 8 + 1 = 192 ÷ 8 + 1 = 24 + 1 = 25（項） 那個「＋1」絕對不能忘！
用另一種方式驗證項數
括號裡的第一個數字依序是 100、96、92、…、4（每次減 4）： 項數 = (100 − 4) ÷ 4 + 1 = 96 ÷ 4 + 1 = 24 + 1 = 25 ✓ 兩種數法都得到 25 項，可以放心。
S = 項數 × (首項 + 末項) ÷ 2 = 25 × (198 + 6) ÷ 2 = 25 × 204 ÷ 2 = 25 × 102 = 2550 （也可以用「奇數項的和 = 項數 × 中間項」： 中間項是第 13 項 = 102 → 25 × 102 = 2550 ✓）
原式 = 2 × 2550 = 5100 答：5100。
整個流程整理
| 步驟 | 做什麼 | 結果 |
|---|---|---|
| ① | 平方差拆開，提出 2 | 2 × (198 + 190 + … + 6) |
| ② | 確認等差數列 | 首 198、末 6、公差 −8 |
| ③ | 算項數 | (198−6)÷8 + 1 = 25 |
| ④ | 算級數和 | 25 × (198+6)/2 = 2550 |
| ⑤ | 乘回 2 | 5100 |
用小規模的例子檢查方法對不對
直接算：(64 − 36) + (16 − 4) = 28 + 12 = 40
用本題的方法： = 2 × [(8+6) + (4+2)] = 2 × (14 + 6) = 2 × 20 = 40 ✓ 兩種算法一致，方法正確。
不確定自己的作法對不對時，先用兩三項的小例子驗一次， 比直接硬算 25 項安全得多。
要記住的觀念
- 平方差公式：a² − b² = (a + b)(a − b)。 看到「兩個平方相減」，第一件事永遠是拆開。
- 每組的差都相同時，可以把它提出來當公因數。 本題每組差都是 2 → 提出 2，剩下的就是「兩數和」的連加。
- 等差數列項數公式： 項數 = (末項 − 首項) ÷ 公差 + 1 「＋1」是最常漏的一步。
- 等差級數和： S = 項數 × (首項 + 末項) ÷ 2 也就是「平均 × 個數」。
- 提出去的公因數，最後一定要乘回來。 算出 2550 只是括號內的和，答案是 5100。
- 用小例子先驗證方法。 拿 (8²−6²) + (4²−2²) 這種兩三項的版本試一次， 確認流程對了再套到大題目上。
常見的「連續平方差」題型整理
類型一：相鄰整數的平方差（本題的變化）
100² − 99² + 98² − 97² + … + 2² − 1²
每組 = (100+99)(1) = 199、(98+97)(1) = 195、…
→ 199 + 195 + … + 3，公差 −4，共 50 項
= 50 × (199 + 3)/2 = 50 × 101 = 5050
（這就是有名的 1 + 2 + … + 100 = 5050！）
類型二：差為 2 的平方差（本題）
每組 = (兩數和) × 2
類型三：奇數平方和
1² + 3² + 5² + … 需要另外的公式，不能用平方差
判斷關鍵：有沒有「相減」。
有減號才能用平方差，全部相加就要用別的方法。
類題自我檢測
1. 計算 (50² − 48²) + (46² − 44²) + … + (2² − 0²)
2. 計算 (20² − 19²) + (18² − 17²) + … + (2² − 1²)
3. 本題中，第 10 組括號是哪一個？它的值是多少？
看解答
1. 每組 = (兩數和) × 2，兩數和為 98、90、82、…、2（公差 −8）
項數 = (98 − 2) ÷ 8 + 1 = 12 + 1 = 13
和 = 13 × (98 + 2)/2 = 13 × 50 = 650
答案 = 2 × 650 = 1300
2. 每組差為 1 → 每組 = 兩數和 × 1
兩數和：39、35、31、…、3（公差 −4），項數 = (39−3)÷4 + 1 = 10
= 10 × (39 + 3)/2 = 10 × 21 = 210
3. 第 n 組的第一個數 = 100 − 4(n−1)，第 10 組 = 100 − 36 = 64
所以是 (64² − 62²)
= (64 + 62) × 2 = 126 × 2 = 252
我的原始作答
卷面上寫了 5100，答案完全正確 ✓
右側草稿有 182、198 等數字，
代表你確實用了平方差公式把每組拆成「兩數和 × 2」，
而且抓到了 198、190、182 這個等差數列——方法完全正確。
這是非選題，建議把過程寫得更完整，讓每一步都看得見：
① 平方差拆開，提出公因數 2
原式 = (100+98)(100−98) + (96+94)(96−94) + … + (4+2)(4−2)
= 198×2 + 190×2 + … + 6×2
= 2 × (198 + 190 + 182 + … + 6)
② 說明括號內是等差數列
首項 198、末項 6、公差 −8
③ 算項數（把式子寫出來）
項數 = (198 − 6) ÷ 8 + 1 = 24 + 1 = 25（項）
④ 算級數和
= 25 × (198 + 6) ÷ 2 = 25 × 102 = 2550
⑤ 乘回 2
原式 = 2 × 2550 = 5100
兩個最主要的給分點：
・「a² − b² = (a+b)(a−b)」的拆解過程——證明你知道用平方差
・項數 25 的計算式——這是最容易算錯的地方，寫出來才顯示你有算
特別提醒「＋1」：
(198 − 6) ÷ 8 = 24 ← 這是「間隔數」
24 + 1 = 25 ← 這才是「項數」
如果漏掉 ＋1，會算成 24 項 → 和 = 24 × 102 = 2448 → 答案 4896，就錯了。
你這題的技巧掌握得很好，
要練的是把腦中完成的步驟，一行一行寫在卷子上——
非選題的分數大部分給在過程，寫出來才拿得到。
複習標記
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