乙追甲：甲走「等差數列的和」，乙也是
題目
- (A) 7
- (B) 8 ← 我選的
- (C) 9 ← 正確答案
- (D) 10
錯在哪裡
你的草稿寫著 10(x + 1) = 8 + x(8 + 0.5x) 這裡有兩個問題：
・甲走了 x 天，總距離就是 10x，不是 10(x+1)
・乙的首日 8 公里已經包含在「x 天」裡，不用另外再加一個 8
正確的列式很單純： 甲 x 天的總距離 = 10x 乙 x 天的總距離 = 等差數列 8, 8.5, 9, … 的前 x 項和 「追及」就是兩人的總距離相等。
防錯方法：先把前幾天的數字實際列出來對照。
| 第幾天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 乙當天走 | 8 | 8.5 | 9 | 9.5 | 10 |
| 乙累計 | 8 | 16.5 | 25.5 | 35 | 45 |
| 甲累計 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
正確解法
甲每天固定 10 公里： 甲 x 天總距離 = 10x
乙每天走的公里數是等差數列： 首項 a₁ = 8，公差 d = 0.5 用等差級數和公式： Sₓ = x[2a₁ + (x − 1)d] / 2 = x[16 + 0.5(x − 1)] / 2 = x[15.5 + 0.5x] / 2
x(15.5 + 0.5x) / 2 = 10x 兩邊同除以 x（x ≠ 0，因為出發時兩人本來就在一起）： (15.5 + 0.5x) / 2 = 10 15.5 + 0.5x = 20 0.5x = 4.5 x = 9 答案 (C) 9。
乙 9 天各走：8, 8.5, 9, 9.5, 10, 10.5, 11, 11.5, 12
用「首末項平均 × 項數」： 乙的總距離 = (8 + 12) × 9 / 2 = 20 × 9 / 2 = 90（公里） 甲的總距離 = 10 × 9 = 90（公里） 兩人都走了 90 公里 → 剛好追上 ✓
逐日追蹤（看得更清楚）
| 第幾天 | 乙當天 | 乙累計 | 甲累計 | 甲領先 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 8 | 10 | 2 |
| 2 | 8.5 | 16.5 | 20 | 3.5 |
| 3 | 9 | 25.5 | 30 | 4.5 |
| 4 | 9.5 | 35 | 40 | 5 |
| 5 | 10 | 45 | 50 | 5（最大差距） |
| 6 | 10.5 | 55.5 | 60 | 4.5 |
| 7 | 11 | 66.5 | 70 | 3.5 |
| 8 | 11.5 | 78 | 80 | 2 |
| 9 | 12 | 90 | 90 | 0 ← 追上！ |
注意第 5 天是轉捩點：乙從第 5 天開始每天走的距離超過 10 公里（追上甲的日速），
差距才開始縮小。第 8 天還差 2 公里、第 9 天剛好追平 ✓
你選的 (B) 8，正好是「還差 2 公里」的那一天——非常接近了。
更快的算法（考試時推薦）
甲的平均日行 = 10 公里（每天都一樣）。
乙是等差數列，平均 = (首項 + 末項) / 2： 乙第 x 天走 8 + 0.5(x − 1) 公里 乙的平均 = [8 + 8 + 0.5(x−1)] / 2 = 10 16 + 0.5(x − 1) = 20 → 0.5(x−1) = 4 → x = 9 ✓ 用「平均相等」比用「總和相等」少一個 x，計算更簡單。
要記住的觀念
- 等差級數和公式： Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n−1)d]/2 前者（首末項平均 × 項數）比較好記也好算。
- 「x 天後追上」→ 兩人 x 天的總距離相等， 天數就是 x，不要多加一天。
- 「首日走 8，其後每日增加 0.5」→ 首項 8、公差 0.5， 第 n 天走的是 8 + 0.5(n − 1)（不是 8 + 0.5n）。
- 等式兩邊都有 x 時可以約掉（但要先確認 x ≠ 0）， 能把二次方程式降成一次方程式。
- 速度型的題目，用「平均」比用「總和」更快。 兩人走同樣天數、同樣距離 ⟺ 平均日行相等。
- 選項不多時，直接列表逐日累加也很可靠。 本題最多算 10 天，兩分鐘就能列完，而且完全不會錯。
為什麼「乙第 n 天走 8 + 0.5(n−1)」而不是「8 + 0.5n」？
因為第 1 天就是首項 8，還沒有增加過。
| 第 n 天 | 增加了幾次 | 當天走 |
|---|---|---|
| 1 | 0 次 | 8 + 0.5×0 = 8 |
| 2 | 1 次 | 8 + 0.5×1 = 8.5 |
| 3 | 2 次 | 8 + 0.5×2 = 9 |
| n | (n−1) 次 | 8 + 0.5(n−1) |
「走了 n 天，只增加了 (n−1) 次」——
這和等差數列通項 aₙ = a₁ + (n−1)d 的 (n−1) 是同一件事。
檢查方法：代 n = 1 進去，看是不是等於首項。
8 + 0.5(1−1) = 8 ✓ 正確
8 + 0.5(1) = 8.5 ✗ 錯了（這是第 2 天的值）
類題自我檢測
1. 若乙每日增加 1 公里（首日仍 8 公里），幾天後追上甲？
2. 若甲每日行 12 公里，乙首日 8 公里、每日增加 0.5 公里，幾天後追上？
3. 承本題，第幾天乙當天走的距離首次超過甲？
看解答
1. 用平均相等：
[8 + 8 + 1(x−1)] / 2 = 10 → 16 + (x−1) = 20 → x = 5
5 天後追上（驗算：8+9+10+11+12 = 50 = 10×5 ✓）
2. [16 + 0.5(x−1)] / 2 = 12 → 16 + 0.5(x−1) = 24
0.5(x−1) = 8 → x − 1 = 16 → x = 17
17 天後追上。（甲走得越快，乙要越久才追得上 ✓ 合理）
3. 乙第 n 天走 8 + 0.5(n−1) > 10
0.5(n−1) > 2 → n − 1 > 4 → n > 5
第 6 天首次超過（第 5 天剛好相等 10 公里）。
這也解釋了為什麼從第 5 天之後差距才開始縮小。
我的原始作答
作答欄填了 (B) 8，紅筆訂正為 (C) 9。
草稿上寫著
10(x + 1) = 8 + x(8 + 0.5x)
並整理成 0.5x² − 2x − 2 = 0、x² − 4x − 4 = 0。
你的思路是對的（兩人距離相等），但列式時多算了東西：
・左邊：甲 x 天走 10x，不是 10(x+1)
「x 日後」就是走了 x 天，沒有第 x+1 天
・右邊：那個開頭的 8 重複了
首日的 8 公里已經是等差數列的第一項，不用再單獨加一次
正確的列式：
給你兩個強力的防錯建議：
① 列式前先把前 3 天的數字寫出來對照。
② 選項只有 4 個時，直接列表算到追上為止。 本題最多算到第 10 天，用加法一天一天累加， 兩分鐘就能得到答案，而且百分之百不會錯。 考試時如果列式沒把握，「土法煉鋼」往往是最划算的選擇。
複習標記
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