數學第4冊 20260729-03 錯題解析

題目

若一等差數列前 n 項的和 Sₙ = −5n² + 9n，試求此級數的公差為何？

(A) −8
(B) −10　←　正確答案
(C) −12
(D) −14　←　我選的

我的答案：(D) −14比對係數的最後一步填錯

正確答案：(B) −10n² 的係數 = d/2 = −5 → d = −10

錯在哪裡

這題有一個一秒鐘的結論可以直接用： 若 Sₙ = An² + Bn，則公差 d = 2A 本題 A = −5 → d = 2 × (−5) = −10 答案就出來了。

為什麼？把等差級數和公式展開： Sₙ = n[2a₁ + (n−1)d] / 2 = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n n² 的係數是 d/2，所以 d/2 = −5 → d = −10

你的草稿其實已經算到了正確的地方：
草稿上寫著 2a₁n + n²d − nd = −10n² + 18n，比對 n² 的係數： d = −10 ✓ 這一行完全正確！ 但最後填的是 (D) −14，應該是抄答案時看錯行或選錯格。

算對了卻選錯選項，是最可惜的失分。 建議在草稿上把最後答案圈起來並寫上選項代號，例如「d = −10 → (B)」。

正確解法

解法一：比對係數（標準做法）

Step 1　寫出等差級數和的一般式
Sₙ = n[2a₁ + (n − 1)d] / 2 展開： Sₙ = [2a₁n + n²d − nd] / 2 Sₙ = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n 重點：Sₙ 一定是「沒有常數項」的二次式。

Step 2　和題目給的式子比對
(d/2)n² + (a₁ − d/2)n = −5n² + 9n 比對 n² 的係數： d/2 = −5　→　d = −10 答案 (B) −10。

順便求出首項（比對 n 的係數）： a₁ − d/2 = 9　→　a₁ − (−5) = 9　→　a₁ = 4

解法二：算 S₁ 和 S₂（最不會錯，推薦當驗算）

Step 1　用 Sₙ 直接算出前兩項

n	Sₙ = −5n² + 9n	計算	值
1	S₁ = a₁	−5(1) + 9(1)	4
2	S₂ = a₁ + a₂	−5(4) + 9(2) = −20 + 18	−2
3	S₃	−5(9) + 9(3) = −45 + 27	−18

Step 2　由 Sₙ 反推各項 a₁ = S₁ = 4 a₂ = S₂ − S₁ = −2 − 4 = −6 a₃ = S₃ − S₂ = −18 − (−2) = −16 Step 3　求公差 d = a₂ − a₁ = −6 − 4 = −10 ✓ 再驗一次：d = a₃ − a₂ = −16 − (−6) = −10 ✓ 兩次都是 −10，答案確定。

把數列寫出來驗算

n	1	2	3	4	5
aₙ	4	−6	−16	−26	−36
Sₙ（累加）	4	−2	−18	−44	−80
Sₙ = −5n²+9n	4 ✓	−2 ✓	−18 ✓	−44 ✓	−80 ✓

累加的結果和公式完全吻合 → 公差 −10、首項 4 都正確 ✓

要記住的觀念

秒殺公式：Sₙ = An² + Bn → 公差 d = 2A、首項 a₁ = A + B。 本題：d = 2(−5) = −10、a₁ = −5 + 9 = 4 ✓ 這兩個公式建議直接背起來。
等差級數和一定是「二次式且沒有常數項」。 Sₙ = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n 如果題目給的 Sₙ 有常數項，那就不是等差數列。
由 Sₙ 求 aₙ 的萬用公式： a₁ = S₁　　aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n ≥ 2） 這個方法適用於任何數列，不只等差。
比對係數時，要把「n² 項」和「n 項」分開看。 公差只跟 n² 的係數有關，和 n 的係數（9）無關。
驗算方式：算出 a₁、a₂、a₃ 看差是不是固定。 4、−6、−16 → 每次都減 10 ✓
算對之後一定要對照選項，並把選項代號寫在答案旁邊。 「算對卻圈錯」是非常可惜的失分。

為什麼 a₁ = A + B？（順便記住這個）

因為 a₁ = S₁，直接把 n = 1 代進去： S₁ = A(1)² + B(1) = A + B 本題：a₁ = −5 + 9 = 4 ✓

整理成一張速查表：

已知	公式	本題
公差 d	2A	2(−5) = −10
首項 a₁	A + B	−5 + 9 = 4
第 n 項 aₙ	2An + (B − A)	−10n + 14

驗證 aₙ = −10n + 14： a₁ = −10 + 14 = 4 ✓、a₂ = −20 + 14 = −6 ✓、a₃ = −30 + 14 = −16 ✓
而 aₙ 是「n 的一次式」，一次項係數 −10 就是公差—— 這也是一個很好的檢查點。

類題自我檢測

1. 若 Sₙ = 3n² + 2n，求公差與首項。
2. 若 Sₙ = n² − 4n，求第 10 項。
3. 若某等差數列 a₁ = 5、d = −3，求 Sₙ 的表示式。

看解答

1. d = 2A = 2(3) = 6　　a₁ = A + B = 3 + 2 = 5 （驗算：S₁ = 3 + 2 = 5 ✓）

2. d = 2(1) = 2、a₁ = 1 + (−4) = −3 a₁₀ = a₁ + 9d = −3 + 18 = 15 （也可用 a₁₀ = S₁₀ − S₉ = (100−40) − (81−36) = 60 − 45 = 15 ✓）

3. Sₙ = (d/2)n² + (a₁ − d/2)n = (−3/2)n² + (5 + 3/2)n = −1.5n² + 6.5n （驗算：S₁ = −1.5 + 6.5 = 5 = a₁ ✓）

我的原始作答

作答欄填了 (D) −14，紅筆訂正為 (B) −10。

但看你的草稿，這題其實你已經完全算對了！
草稿上清楚寫著：

   n(2a₁ + (n−1)d)
   ──────────────  = −5n² + 9n
          2

   2a₁n + n²d − nd = −10n² + 18n
   2a₁ + nd − d = −10n + 18
      

從「n²d = −10n²」立刻可以看出 d = −10，這正是正確答案。你的推導過程一步都沒錯。

失分原因是「算對了卻圈錯選項」—— 這是最可惜的一種錯，因為數學能力完全沒問題。

強烈建議建立這個習慣：在草稿的答案旁邊寫上選項代號。

   d = −10  →  (B)      ← 這樣寫，就不會圈錯
      

算完之後，先在草稿寫「→ (B)」，再回頭圈答案卡，多這一個動作可以杜絕大部分的「填錯格」。

另外，這題有一個一秒鐘的秒殺公式，建議背起來： Sₙ = An² + Bn　→　公差 d = 2A、首項 a₁ = A + B 本題 d = 2 × (−5) = −10、a₁ = −5 + 9 = 4。
用這個公式，連展開都不用，直接看 n² 的係數乘 2 就好。

最後推薦一個超級可靠的驗算法：算 S₁ 和 S₂。
　S₁ = −5 + 9 = 4 → a₁ = 4
　S₂ = −20 + 18 = −2 → a₂ = −2 − 4 = −6
　d = −6 − 4 = −10 ✓
只用加減法，十秒鐘就能確認答案。

複習標記

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