等差數列：奇數項的和 = 項數 × 中間項
題目
- (A) −6 ← 正確答案
- (B) −3 ← 我選的
- (C) 3
- (D) 6
錯在哪裡
技巧：等差數列中，「連續奇數個項的和 = 項數 × 正中間那一項」。
條件① 前九項和為 54：
9 個項的正中間是第 5 項： a₁ + a₂ + … + a₉ = 9 × a₅ = 54 a₅ = 6
條件② 第 1、4、7 項的和為 36：
1、4、7 本身也是等差（公差 3），正中間是第 4 項： a₁ + a₄ + a₇ = 3 × a₄ = 36 a₄ = 12
兩項相鄰，直接相減就是公差： d = a₅ − a₄ = 6 − 12 = −6
你選 −3，很可能是把「a₅ 和 a₄ 相差幾項」算錯了， 或是列了聯立方程式但中途出錯。 用中間項技巧，這題根本不需要設 a₁ 和 d。
正確解法
解法一：用中間項（三行解完，強烈推薦）
S₉ = 9 × a₅ = 54 → a₅ = 6 （9 個連續項的正中間是第 5 項。）
第 1、4、7 項的項數也成等差（1、4、7，公差 3）， 所以這三項也構成一個等差數列，正中間是 a₄： a₁ + a₄ + a₇ = 3 × a₄ = 36 → a₄ = 12
d = a₅ − a₄ = 6 − 12 = −6 答案 (A) −6。
解法二：老老實實設 a₁ 和 d（驗算用）
驗算：把整個數列寫出來
| 項 | a₁ | a₂ | a₃ | a₄ | a₅ | a₆ | a₇ | a₈ | a₉ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 值 | 30 | 24 | 18 | 12 | 6 | 0 | −6 | −12 | −18 |
| 檢查項目 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| 前九項和 | 30+24+18+12+6+0−6−12−18 | 54 ✓ |
| a₁ + a₄ + a₇ | 30 + 12 + (−6) | 36 ✓ |
| 公差 | 24 − 30 | −6 ✓ |
| 9 × a₅ | 9 × 6 | 54 ✓ 印證中間項技巧 |
兩種解法比較
| 解法一（中間項） | 解法二（聯立） | |
|---|---|---|
| 要設未知數嗎 | 不用 | 要設 a₁ 和 d |
| 步驟數 | 3 行 | 約 8 行 |
| 容易錯的地方 | 幾乎沒有 | 展開、移項、代回 |
要記住的觀念
- 等差數列「奇數個連續項」的和 = 項數 × 中間項。 S₉ = 9a₅ S₅ = 5a₃ S₇ = 7a₄ S₃ = 3a₂ 這個技巧極常考，一定要背熟。
- 項數本身成等差的那幾項，也會構成等差數列。 第 1、4、7 項（項數差 3）→ 它們的公差是原數列的 3d， 所以 a₁ + a₄ + a₇ = 3a₄。
- 兩個相鄰項相減就是公差：d = a₅ − a₄。 若不相鄰：d = (aₙ − aₘ) / (n − m)
- 等差級數和公式： Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n−1)d]/2 當 n 是奇數時，Sₙ = n × 中間項（其實是同一個公式）。
- 公差可以是負數——數列遞減時 d < 0。 本題 30, 24, 18… 一路遞減，d = −6 ✓ 合理。
- 算完把前幾項寫出來驗算， 比重新算一次公式更可靠，也更快看出錯在哪。
為什麼「奇數項的和 = 項數 × 中間項」？
以 5 項為例，設中間項是 m、公差是 d：
m−2d、m−d、m、m+d、m+2d
相加：
(m−2d) + (m−d) + m + (m+d) + (m+2d) = 5m
所有的 d 都成對消掉了！（−2d 和 +2d 抵消、−d 和 +d 抵消。）
9 項也一樣：中間是 a₅，左右各 4 項對稱抵消
S₉ = 9a₅
這也解釋了為什麼偶數項沒有這個公式——
偶數項沒有「正中間那一項」，
要改用 Sₙ = n × (首項 + 末項) / 2。
記法：等差數列的平均數 = 中間項（或首末兩項的平均）。
類題自我檢測
1. 某等差數列前 7 項和為 63，求第 4 項。
2. 某等差數列 a₂ + a₅ + a₈ = 30，求 a₅。
3. 某等差數列前 5 項和為 40、前 9 項和為 36，求公差。
看解答
1. 7 項的中間是第 4 項：
S₇ = 7a₄ = 63 → a₄ = 9
2. 項數 2、5、8 成等差，中間是 a₅：
a₂ + a₅ + a₈ = 3a₅ = 30 → a₅ = 10
3. S₅ = 5a₃ = 40 → a₃ = 8
S₉ = 9a₅ = 36 → a₅ = 4
a₃ 到 a₅ 差 2 項：
d = (a₅ − a₃) / (5 − 3) = (4 − 8) / 2 = −2
（注意這裡 a₃ 和 a₅ 不相鄰，要除以 2。）
我的原始作答
作答欄填了 (B) −3，紅筆訂正為 (A) −6。
草稿上寫著 a₁ + a₉ = 12、9( )/2 = 54、
以及 a₁ a₄ a₇、12 9 6 3 0 −3——
你的方向完全正確！
・a₁ + a₉ = 12 是對的（因為 S₉ = 9(a₁+a₉)/2 = 54 → a₁+a₉ = 12）
・你也正確地把 a₁、a₄、a₇ 標出來思考
・下面寫的 12 9 6 3 0 −3 看起來是在試不同的公差
斷點在於：算出 a₁ + a₉ = 12 之後，沒有進一步轉成 a₅。
其實只要再走一步：
a₁ + a₉ = 12 且 a₅ 是 a₁、a₉ 的中間項
a₅ = (a₁ + a₉)/2 = 12/2 = 6
然後由 a₁ + a₄ + a₇ = 3a₄ = 36 得 a₄ = 12，
兩者相減 d = 6 − 12 = −6。
強烈建議把這個技巧背下來：
最後提醒：把答案代回去把數列寫出來檢查。
d = −6、a₁ = 30 → 30, 24, 18, 12, 6, 0, −6, −12, −18
前九項和 = 54 ✓ a₁ + a₄ + a₇ = 30 + 12 − 6 = 36 ✓
兩個條件都符合，答案就百分之百確定了。 數列題把前幾項實際寫出來，是最快也最可靠的驗算方式。
複習標記
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