等比中項給 pq、通分給 p+q，兩個一起用

題目

1. (A) 5　←　我選的
2. (B) 10
3. (C) 45　←　正確答案
4. (D) 50

錯在哪裡

正確解法

檢查：p 和 q 真的存在嗎？

兩種「中項」千萬別搞混

本題最妙的地方：等比中項給你「積」， 通分後又需要「積」；等差中項要「和」，通分後剛好求出「和」。 兩個條件像齒輪一樣互相咬合。

要記住的觀念

等差中項與等比中項的口訣

等「差」中項 → 用「加減」→ 相加除以 2 a、m、b 等差 ⟺ m − a = b − m ⟺ 2m = a + b

等「比」中項 → 用「乘除」→ 相乘開根號 a、m、b 等比 ⟺ m/a = b/m ⟺ m² = ab

兩者的推導方式完全平行：
・等差看「差相等」→ 移項得到「和」
・等比看「比相等」→ 交叉相乘得到「積」

記住這個對應，就不會把公式記反。
常見錯誤是把等比中項寫成 (a+b)/2 —— 那是等差中項！

類題自我檢測

1. 若 1/p + 1/q = 5，且 p、4、q 成等比數列，求 p、q 的等差中項。
2. 若 p、q 的等差中項是 10、等比中項是 6，求 1/p + 1/q。
3. 若 2、m、8 成等比數列，m 可能是多少？

看解答

1. 等比中項 4 → pq = 4² = 16 (p + q)/16 = 5 → p + q = 80 等差中項 = 80 / 2 = 40

2. 等差中項 10 → p + q = 20；等比中項 6 → pq = 36 1/p + 1/q = (p+q)/(pq) = 20/36 = 5/9

3. m² = 2 × 8 = 16 → m = 4 或 m = −4 兩個都對！（2, 4, 8 公比 2；2, −4, 8 公比 −2）
等比中項有正負兩個答案，這是很容易漏掉的地方。

我的原始作答

作答欄填了 (A) 5，紅筆訂正為 (C) 45。
草稿上寫了 1/9，還有 1 2 3 4 5 和 a₁ a₂ a₃ … a₂₇ a₂₅ a₂₉ 等等—— 看起來是在把數列的項一個一個列出來嘗試， 這在「求某一項」的題目有用，但本題不需要。

那個 1/9 其實非常接近答案！ 因為 pq = 3² = 9，你已經算出了等比中項給的資訊。
接下來只差一步：把 1/p + 1/q 通分。

整題就只有這三行。

建議建立這兩個反射動作：
　① 看到「x、m、y 成等比」→ 立刻寫下 m² = xy
　② 看到 1/p + 1/q → 立刻通分成 (p+q)/(pq)

這兩個動作做完，兩個條件就自動接上了—— 一個提供分母（積），一個要求分子（和）， 而題目要的等差中項又剛好只需要「和」。

核心提醒：不要急著解出 p 和 q。 本題的 p、q 其實是 x² − 90x + 9 = 0 的兩根（約 89.9 和 0.1）， 數字很醜，解出來反而更容易算錯。 「只求和、只求積」是數列與方程式題目非常重要的省力思維。