墊腳凳塗色：等積變形讓兩塊面積剛好相等
題目
(1) 連接 BE 交 AD 於 G 點，並作 BD、CG， 說明為何 △BDE 的面積 = 四邊形 CDEG 的面積？
(2) 承(1)，若阿澤改成只在左右兩側的四邊形 CDEG 區域塗顏色， 則原本準備的顏料是否恰好足夠？
錯在哪裡
△BDE 是三角形、CDEG 是四邊形，形狀天差地遠， 直接算面積會很麻煩（因為沒給任何長度）。
正確的策略：找出兩塊圖形「共有的部分」，只比較剩下的部分。
用對角線 DG 把兩塊都切開：
・△BDE = △BDG + △DGE（因為 G 在 BE 上）
・四邊形 CDEG = △CDG + △DGE（DG 是它的對角線）
兩者都有 △DGE ——共同部分！
所以只要證明 △BDG = △CDG 就完成了。
而 △BDG 和 △CDG 剛好是「同底等高」：
・共同的底：DG（在 AD 上）
・因為 AD ∥ BC，B 和 C 到直線 AD 的距離相等
→ 兩三角形面積相等 ✓
看到「證明兩塊面積相等」，先想「切掉共同部分」， 再用「同底等高」——這是這類題目的標準套路。
正確解法
第 (1) 小題：證明 △BDE = 四邊形 CDEG
| 圖形 | 被 DG 切成 |
|---|---|
| △BDE | △BDG ＋ △DGE |
| 四邊形 CDEG | △CDG ＋ △DGE |
・共同的底：DG（G、D 都在 AD 上，所以 DG 落在直線 AD 上）
・高：B 到直線 AD 的距離、C 到直線 AD 的距離
因為題目給了 AD ∥ BC： B、C 都在直線 BC 上，而 BC ∥ AD → B 到 AD 的距離 = C 到 AD 的距離（平行線間距離處處相等） 同底（DG）、等高 → 面積相等： △BDG = △CDG
△BDG + △DGE = △CDG + △DGE △BDE = 四邊形 CDEG 得證 ✓
第 (2) 小題：顏料夠不夠？
設長方形 ADEF 的 AD = ℓ（長）、DE = h（寬）。
看 △BDE：
・底取 DE（長方形的一邊），長度 = h
・高是 B 到直線 DE 的距離
因為 ADEF 是長方形，DE ⊥ AD，且 B 在 AD 延伸方向外側： B 到直線 DE 的距離 = AD = ℓ △BDE 面積 = (1/2) × h × ℓ 而長方形 ADEF 的面積 = ℓ × h： △BDE = (1/2) × 長方形 ADEF 的面積
由第 (1) 小題，四邊形 CDEG = △BDE = 長方形的一半。
現在要塗左右兩側的 CDEG： 兩側總面積 = 2 × (1/2 × 長方形) = 1 個長方形的面積 而顏料恰好夠塗一個長方形： 需要的量 = 擁有的量 答：顏料恰好足夠 ✓
結論整理
| 項目 | 面積 |
|---|---|
| 長方形 ADEF（一側） | ℓ × h = S |
| 顏料可塗的量 | 1 個長方形 = S |
| △BDE = 四邊形 CDEG（一側） | S / 2 |
| 左右兩側 CDEG 合計 | 2 × S/2 = S |
| 需要 S、擁有 S → 恰好足夠 ✓ | |
要記住的觀念
- 同底等高的三角形面積相等。 這是本題的靈魂，也是整個面積單元最重要的性質。
- 平行線之間的距離處處相等。 AD ∥ BC → B 和 C 到 AD 的距離一樣 → 這就是「等高」的來源。
- 要證兩塊面積相等，先找「共同部分」切掉。 A + 共同 = B + 共同 ⟺ A = B 這招叫「等量減等量」，能把複雜圖形化成兩個簡單三角形的比較。
- 三角形佔長方形的一半：底和高分別等於長方形的兩邊時， 面積必為長方形的一半。 (1/2) × 底 × 高 = (1/2) × 長 × 寬
- 沒有給任何長度的面積題，一定是考「比例關係」不是「算數值」。 看到題目一個數字都沒有，就要往「同底等高」「等積變形」去想。
- 非選題要把「理由」寫清楚： 寫出「因為 AD ∥ BC，所以 B、C 到 AD 等距，故 △BDG = △CDG（同底等高）」， 這句話本身就是主要的給分點。
「等積變形」的威力：頂點沿平行線滑動，面積不變
△BDG 又高又斜、△CDG 比較正，
但因為「底相同、頂點在同一條平行線上」，面積完全相等。
這個性質可以用來「把歪掉的圖形變正」，
是幾何證明中最常用的技巧之一，
在梯形、平行四邊形、多邊形分割的題目都會出現。
記住這個畫面：頂點沿著平行於底邊的直線滑動時，面積不變。
類題自我檢測
1. 若長方形 ADEF 的 AD = 30 公分、DE = 20 公分，求 △BDE 的面積。
2. 承第 1 題，四邊形 CDEG 的面積是多少？
3. 若顏料只夠塗「半個長方形」，改塗兩側的 CDEG 夠不夠？
看解答
1. △BDE = (1/2) × DE × AD = (1/2) × 20 × 30 = 300（平方公分）
2. 由第 (1) 小題的結論：
四邊形 CDEG = △BDE = 300（平方公分）
（長方形面積 = 600，CDEG 正好是一半 ✓）
3. 兩側 CDEG 合計 = 300 × 2 = 600 平方公分 = 一整個長方形
但顏料只夠塗半個長方形 = 300 平方公分
600 > 300 → 不夠 ✗
只夠塗其中一側。
我的原始作答
卷面上寫了 「是」（顏料足夠），第 (2) 小題的結論正確 ✓
但這題是非選題，而且明確要求「完整說明你的理由」，
所以過程的完整度就是分數的來源。
特別是第 (1) 小題整題都是「說明」，只寫答案是拿不到分的。
建議的完整寫法：
(1) 連接 DG，將兩個圖形分別切開：
△BDE = △BDG ＋ △DGE
四邊形 CDEG = △CDG ＋ △DGE
兩者都含有 △DGE，故只需比較 △BDG 與 △CDG。
△BDG 與 △CDG 以 DG 為共同底；
∵ AD ∥ BC，∴ B、C 兩點到直線 AD 的距離相等（平行線間距離處處相等）
∴ 兩三角形同底等高 → △BDG = △CDG
兩邊各加 △DGE：
△BDE = 四邊形 CDEG 得證
(2) 設長方形 ADEF 中 AD = ℓ、DE = h，面積 = ℓh
△BDE 以 DE 為底（長 h），高為 B 到 DE 的距離 = AD = ℓ
△BDE = (1/2) ℓh = (1/2) × 長方形面積
由(1)：四邊形 CDEG = △BDE = 長方形的一半
左右兩側合計 = 2 × (1/2) 長方形 = 1 個長方形
顏料恰好夠塗一個長方形 → 恰好足夠 ✓
三個關鍵得分句，一定要寫出來：
① 「兩者都含有 △DGE」——說明你懂得用共同部分相消
② 「因為 AD ∥ BC，所以 B、C 到 AD 等距」——這是等高的理由
③ 「同底等高，面積相等」——寫出所依據的性質名稱
你的幾何直覺是對的（答案猜對了），
現在要練的是把腦中的想法用「∵ ∴」寫成證明。
證明題的分數幾乎全在過程，
每寫一句有根據的話，就多拿一分。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。