花圃鋪小路：路斜不斜不重要，「在邊上佔幾公尺」才重要
題目
| 設計者 | 兩條路在邊上的寬度 | 兩路的夾角 | 形狀 |
|---|---|---|---|
| 小安 | 2 和 2 | 90° | 十字形（與邊平行） |
| 小軒 | 1 和 1 | 90° | X 形（斜的） |
| 小欣 | 2 和 2 | 80° | 斜十字形 |
- (A) 小安 > 小軒 > 小欣 ← 我選的
- (B) 小安 = 小欣 > 小軒
- (C) 小軒 > 小安 = 小欣 ← 正確答案
- (D) 小安 = 小軒 = 小欣
錯在哪裡
為什麼？因為這條路是一個平行四邊形：
・它的一組對邊，分別落在正方形的兩條對邊上，長度都是 w（在邊上的寬度）
・這兩條對邊之間的距離，就是正方形的邊長 a
平行四邊形面積 = 底 × 高 = w × a 不論路傾斜幾度，只要 w 和 a 不變，面積就不變！
所以「小欣的路比較斜，一定佔比較多面積」這個直覺是錯的。 小欣的兩條路寬都是 2、小安也是 2 → 兩人的路面積完全相同，剩下的綠地也相同。
而小軒的路寬只有 1（是別人的一半）， 所以路佔的面積最少、綠地最多。
正確解法
兩條路的總面積 = 路1 + 路2 − 重疊 重疊區也是一個平行四邊形， 它的面積同樣等於「兩條路各自在邊上的寬度相乘」： 重疊面積 = w₁ × w₂ （這個結論和夾角也無關，理由和 Step 1 相同。）
| 設計者 | 路 1 | 路 2 | 重疊 | 路總面積 | 綠地面積 |
|---|---|---|---|---|---|
| 小安 | 2a | 2a | 2 × 2 = 4 | 4a − 4 | a² − 4a + 4 |
| 小軒 | 1a | 1a | 1 × 1 = 1 | 2a − 1 | a² − 2a + 1 |
| 小欣 | 2a | 2a | 2 × 2 = 4 | 4a − 4 | a² − 4a + 4 |
小安和小欣完全一樣（都是 a² − 4a + 4）： 小安 = 小欣 小軒和小安相比： 小軒 − 小安 = (a² − 2a + 1) − (a² − 4a + 4) = 2a − 3 正方形邊長 a 一定大於 2（不然路都放不下），所以 2a − 3 > 0： 小軒 > 小安 = 小欣 答案 (C)。
代具體數字檢查（設邊長 a = 10）
| 設計者 | 路總面積 | 綠地面積 | 排名 |
|---|---|---|---|
| 小安 | 4(10) − 4 = 36 | 100 − 36 = 64 | 並列第 2 |
| 小軒 | 2(10) − 1 = 19 | 100 − 19 = 81 | 第 1（最大） |
| 小欣 | 4(10) − 4 = 36 | 100 − 36 = 64 | 並列第 2 |
綠地：小軒 81 > 小安 64 = 小欣 64 ✓ 而且 64 = 8² = (10 − 2)²、81 = 9² = (10 − 1)² —— 剛好都是完全平方數！
一個超好記的結論
・小安、小欣：w = 2 → 綠地 = (a − 2)²
・小軒：w = 1 → 綠地 = (a − 1)²
因為 (a − 1)² > (a − 2)²，所以小軒的綠地最大 ✓
要記住的觀念
- 貫穿正方形的一條路，面積 = 邊長 × 路在邊上的寬度，與傾斜角度無關。 這是本題唯一的核心，一定要理解為什麼。
- 平行四邊形面積 = 底 × 高。 路的「底」是它在正方形邊上佔的長度、「高」是正方形的邊長。
- 兩條路交叉的重疊面積 = w₁ × w₂，同樣與夾角無關。
- 兩條路的總面積 = 路1 + 路2 − 重疊（重疊被算了兩次，要扣一次）。
- 好記的結論：兩條寬 w 的路貫穿邊長 a 的正方形 → 綠地 = (a − w)²。 抽掉路、把剩下的推攏，就是一個小正方形。
- 不要被「斜的看起來比較長」騙了。 斜路確實比較長，但它的「高」（垂直寬度）也比較窄，兩者剛好抵消。
為什麼斜路「比較長卻不比較大」？
假設路與正方形的邊成 θ 角、在邊上佔寬 w：
・路的長度（沿著路走的距離）= a / cos θ ← 越斜越長
・路的垂直寬度（真正的路寬）= w × cos θ ← 越斜越窄
兩者相乘：
面積 = (a / cos θ) × (w × cos θ) = a × w
cos θ 完美消掉了！
直覺上：把路斜著擺，它變長了，但同時也變窄了，兩個效果剛好抵消。
這個「兩個效果互相抵消」的現象在數學裡很常見，
也是本題最漂亮的地方——
命題老師故意畫了三種不同角度的圖，
就是要測你會不會被「看起來不一樣」誤導。
類題自我檢測
1. 若正方形邊長 12，兩條路在邊上各佔 3 公尺，綠地面積是多少？
2. 若小欣的夾角改成 45°（路寬仍是 2），她的綠地會變嗎？
3. 若某人設計兩條路，寬分別是 2 和 3，夾角 60°，邊長 10，綠地面積是多少？
看解答
1. 綠地 = (12 − 3)² = 9² = 81（平方公尺）
2. 不會變。路面積只跟「在邊上佔幾公尺」有關，
夾角改成 45°、30°、任何角度，綠地都還是 (a − 2)²。
（前提是兩條路都要真的貫穿正方形。）
3. 路 1 = 10 × 2 = 20，路 2 = 10 × 3 = 30，重疊 = 2 × 3 = 6
路總面積 = 20 + 30 − 6 = 44
綠地 = 100 − 44 = 56（平方公尺）
（寬度不同時就不能用 (a−w)² 的簡便公式了，要老實算。）
我的原始作答
作答欄填了 (A) 小安 > 小軒 > 小欣，紅筆訂正為 (C) 小軒 > 小安 = 小欣。
草稿上寫著 安：(x − 2)² = x² − 4x + 4——
你已經寫出了正確的公式！
這代表你知道「兩條寬 2 的路 → 綠地是 (x − 2)²」這個結論。
斷點在於：沒有把同一個公式套用到小欣身上。
小欣的路寬也是 2，只是夾角 80° 而不是 90°，
但「角度不影響面積」，所以她的綠地也是 (x − 2)²，和小安完全相同。
你把小欣排在最後，應該是覺得「斜的路會佔比較多地」——
這正是本題想破除的直覺。
請把這個結論記牢：
小安：w = 2 → 綠地 (a − 2)²
小欣：w = 2 → 綠地 (a − 2)² ← 和小安一樣！
小軒：w = 1 → 綠地 (a − 1)² ← 最大！
→ 小軒 > 小安 = 小欣 ✓
給你的檢查建議：看到選項裡有「= 號」的組合（如 (B)(C)(D)）， 就要先想「有沒有兩個人的條件其實一樣？」
本題小安和小欣的路寬都是 2，只有角度不同—— 只要知道角度不影響面積，就能立刻鎖定「小安 = 小欣」， 答案馬上剩下 (B) 和 (C) 二選一。
再看小軒的路寬只有 1（比較窄）→ 綠地比較大 → 選 (C) ✓
複習標記
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