浮體排開的水，重量就等於它自己的重量
題目
將等重的木塊與金屬塊分別放入裝滿水的燒杯中，量取溢出水的體積，如下表所示。
則金屬塊的密度為多少 g/cm³？（密度大小：金屬塊 ＞ 水 ＞ 木塊）
| 物體 | 木塊 | 金屬塊 |
|---|---|---|
| 溢出水的體積 (cm³) | 120 | 60 |
- (A) 0.5
- (B) 1.5 ← 我選的
- (C) 2 ← 正確答案
- (D) 4
我的答案：(B) 1.5沒有把「溢出水體積」先換算成質量
正確答案：(C) 2 g/cm³m = 120 g、V = 60 cm³ → 120 ÷ 60 = 2
錯在哪裡
關鍵錯誤：把兩個「溢出水體積」當成同一種東西直接運算。
表格裡的 120 和 60 雖然單位都是 cm³，代表的意義卻完全不同：
木塊（浮）：120 cm³ 是「排開水的體積」，它的用途是換算成質量 （浮力＝重量 → 排開的水重 ＝ 木塊重）。
金屬塊（沉）：60 cm³ 是「金屬塊本身的體積」（因為完全沉入）。
題目要的密度是「金屬塊的質量 ÷ 金屬塊的體積」。體積 60 你有了， 但質量必須從木塊那邊借過來——這正是題目寫「等重」兩個字的用意。
沒做這個轉換，就只能把 120 和 60 湊來湊去，湊出 1.5（例如 180÷120）或其他數字。 「等重」是本題的橋樑，漏掉它整題就斷了。
表格裡的 120 和 60 雖然單位都是 cm³，代表的意義卻完全不同：
木塊（浮）：120 cm³ 是「排開水的體積」，它的用途是換算成質量 （浮力＝重量 → 排開的水重 ＝ 木塊重）。
金屬塊（沉）：60 cm³ 是「金屬塊本身的體積」（因為完全沉入）。
題目要的密度是「金屬塊的質量 ÷ 金屬塊的體積」。體積 60 你有了， 但質量必須從木塊那邊借過來——這正是題目寫「等重」兩個字的用意。
沒做這個轉換，就只能把 120 和 60 湊來湊去，湊出 1.5（例如 180÷120）或其他數字。 「等重」是本題的橋樑，漏掉它整題就斷了。
正確解法
Step 1 木塊會浮 → 用浮力平衡求出木塊的「質量」
木塊密度 ＜ 水 → 浮在水面，此時 浮力 ＝ 木塊重量 而由阿基米德原理，浮力 ＝ 排開的水重，因此 木塊重量 ＝ 排開的水重 排開的水是 120 cm³，水的密度 1 g/cm³，所以 m木 ＝ 120 cm³ × 1 g/cm³ ＝ 120 g （注意：120 cm³ 不是木塊的體積，木塊體積比它大。）
木塊密度 ＜ 水 → 浮在水面，此時 浮力 ＝ 木塊重量 而由阿基米德原理，浮力 ＝ 排開的水重，因此 木塊重量 ＝ 排開的水重 排開的水是 120 cm³，水的密度 1 g/cm³，所以 m木 ＝ 120 cm³ × 1 g/cm³ ＝ 120 g （注意：120 cm³ 不是木塊的體積，木塊體積比它大。）
Step 2 用「等重」把質量傳給金屬塊
題目說兩者等重： m金屬 ＝ m木 ＝ 120 g
題目說兩者等重： m金屬 ＝ m木 ＝ 120 g
Step 3 金屬塊會沉 → 溢出的水就是它的體積
金屬密度 ＞ 水 → 完全沉入水中，排開的水體積 ＝ 物體體積： V金屬 ＝ 60 cm³
金屬密度 ＞ 水 → 完全沉入水中，排開的水體積 ＝ 物體體積： V金屬 ＝ 60 cm³
Step 4 算密度
D金屬 ＝ m ÷ V ＝ 120 g ÷ 60 cm³ ＝ 2 g/cm³ 答案 (C)。
D金屬 ＝ m ÷ V ＝ 120 g ÷ 60 cm³ ＝ 2 g/cm³ 答案 (C)。
Step 5 回頭驗算合不合理
① 金屬密度 2 ＞ 水 1 → 會沉 ✓ 與題目條件相符。
② 木塊：質量 120 g、體積必定 ＞ 120 cm³ → 密度 ＜ 1 → 會浮 ✓ 相符。
兩個都通過，答案正確。
① 金屬密度 2 ＞ 水 1 → 會沉 ✓ 與題目條件相符。
② 木塊：質量 120 g、體積必定 ＞ 120 cm³ → 密度 ＜ 1 → 會浮 ✓ 相符。
兩個都通過，答案正確。
一張表整理「沉」與「浮」的差別
| 木塊（浮） | 金屬塊（沉） | |
|---|---|---|
| 溢出水體積的意義 | 只是沒入部分的體積 | 整個物體的體積 |
| 可以直接得到 | 質量（＝排開水重） | 體積 |
| 本題數值 | m ＝ 120 g，V ＞ 120 cm³ | V ＝ 60 cm³，m 由等重得 120 g |
| 密度 | ＜ 1 g/cm³ | 2 g/cm³ |
要記住的觀念
- 浮體的超級捷徑：排開水的體積（cm³）＝ 物體的質量（g）。 因為浮力＝重量，而水密度剛好是 1。 看到「浮著、溢出 120 cm³」，就直接寫下「這個物體重 120 g」。
- 沉體的意義完全不同：排開水的體積 ＝ 物體的體積。 同樣一句「溢出多少水」，浮體給你質量，沉體給你體積—— 先判斷浮或沉，再決定這個數字要往哪裡填。
- 「等重」「等體積」這種詞是題目的橋樑，一定會用到。 解完檢查：有沒有哪個條件從頭到尾沒用上？有的話多半是漏了關鍵步驟。
- 密度公式要認清主角： D ＝ m ÷ V m 和 V 必須是同一個物體的。本題最容易犯的錯就是把木塊的體積數字 拿去除金屬塊的質量。
- 算完一定回頭檢查浮沉是否相符。 若算出金屬密度小於 1，就代表哪裡錯了——因為題目已明說金屬會沉。 這個 5 秒驗算能抓出大部分的計算錯誤。
類題自我檢測
將等重的甲、乙兩物體分別放入裝滿水的容器中，甲浮在水面並溢出 200 cm³ 的水，
乙沉入水底並溢出 50 cm³ 的水。下列敘述何者錯誤？
(A) 甲的質量為 200 g (B) 乙的密度為 4 g/cm³
(C) 甲的體積大於 200 cm³ (D) 乙所受的浮力大於甲所受的浮力
看解答
(D) 錯誤。
甲浮 → m甲 ＝ 200 g，浮力 ＝ 重量 ＝ 200 公克重。
乙沉 → V乙 ＝ 50 cm³，浮力 ＝ 排開水重 ＝ 50 公克重。
所以甲的浮力反而比較大，(D) 說反了。
(A) ✓；(B) 等重 → m乙 ＝ 200 g，D ＝ 200 ÷ 50 ＝ 4 g/cm³ ✓；
(C) 甲浮著，體積必大於沒入的 200 cm³ ✓。
重點：沉體的浮力只跟它的體積有關，跟它多重完全無關。
我的原始作答
訂正時你寫下的 D金 ＝ M(120) ÷ V(60) ＝ 2 g/cm³ 完全正確，代表公式沒問題，卡關的是「120 g 這個質量怎麼來的」那一步。 建議固定流程：先在每個物體旁邊標上「浮／沉」，浮的立刻寫質量、沉的立刻寫體積， 再看題目用哪個條件把它們接起來。
複習標記
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還沒標記