錯題解析

指數律：乘就相加，除就相減

數學．第 1 冊．2026/07/02．第 02 題　|　主題：整數指數律．負指數

題目

化簡 10−7 × 102 ÷ 10−4 = 10□，則 □ 內應填入下列何數？
  1. (A) −2
  2. (B) −1　←　正確答案
  3. (C) 1　←　我選的
  4. (D) 2
我的答案：(C) 1數字大小對了，正負號反了
正確答案：(B) −1(−7) + 2 − (−4) = −1
題目原文

錯在哪裡

關鍵錯誤：負號在計算過程中掉了。
這四個選項是 −2、−1、1、2 —— 出題老師故意把「同一個數字的正負兩版」都放進去， 就是在抓「算對大小、算錯符號」的人。你選的 1 和正確的 −1 只差一個負號。

最容易發生的兩個地方：
① 把首項的 10−7 當成 107，變成 7 − 2 − 4 = 1 → 選到 (C)。
② 除法時把「減去 −4」寫成「減 4」，變成 −5 − 4 = −9（不在選項裡，就會慌張亂猜）。

減去一個負數 = 加上正數。這是本題唯一的技術關卡。

正確解法

Step 1　寫出要用的兩條指數律
同底數相乘 → 指數相加：10m × 10n = 10m+n
同底數相除 → 指數相減：10m ÷ 10n = 10m−n
Step 2　把三個指數依序放進去（連號一起搬）
□ = (−7) + 2 − (−4)
注意最後那一項：原本的指數是 −4，除法要「減掉它」，所以是 −(−4) = +4。
Step 3　算出來
(−7) + 2 + 4 = −1
所以 □ = −1，答案 (B)。

分段算一次，確認沒漏

步驟算式結果
先乘10−7 × 102 = 10−7+210−5
再除10−5 ÷ 10−4 = 10−5−(−4)10−1

不放心？改用分數驗算一次

負指數就是分母，把它全部換成分數就完全不必處理正負號：

10−7 × 102 ÷ 10−4 = (1 / 107) × 102 × 104 = 106 / 107 = 1 / 10 = 10−1　✓

（÷ 10−4 就是 ÷ (1/104)，也就是 × 104，除以分數要顛倒相乘。）

要記住的觀念

  • 乘加、除減。只要底數一樣，乘法把指數加起來、除法把指數減掉，永遠不變。
  • 減去負數＝加正數。−(−4) = +4。這一步請一定要寫出括號，不要心算跳過。
  • 選項出現「一正一負的同一個數」＝符號陷阱警報。看到 −2/−1/1/2 這種排法，算完務必回頭檢查符號。
  • 負指數 = 倒數：10−n = 1/10n。改寫成分數是最不容易出錯的驗算方式。
  • 估大小當最後防線。10−7 是很小的數，乘 102、再除以更小的 10−4，結果應該還是小於 1 → 指數一定是負的，1 和 2 直接排除。
用「大小估計」30 秒解掉這題

10−7 = 0.0000001，很小；× 102 只放大 100 倍 → 0.00001； ÷ 10−4 就是 × 10000 → 0.1。0.1 小於 1，所以指數必為負，(C)、(D) 立刻出局； 而 0.1 = 10−1，答案就是 (B)。

類題自我檢測

1. 化簡 105 × 10−3 ÷ 10−2 = 10□，求 □。
2. 化簡 10−4 ÷ 103 × 10−2 = 10□，求 □。

看解答

1. □ = 5 + (−3) − (−2) = 5 − 3 + 2 = 4。
2. □ = (−4) − 3 + (−2) = −9。
重點都一樣：把每個指數連著它的正負號一起搬下來，除法那一項前面補上減號後再展開括號。

我的原始作答

原始作答

這題沒有留下任何計算過程，是直接看著選項選的 —— 這正是符號會出錯的主因。 下次遇到指數題，就算再簡單也把「(−7) + 2 − (−4)」這一行寫在旁邊， 寫出來就會看到那個雙重負號，不會再掉。

複習標記

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還沒標記