大數比大小：把指數「同時開次方」降下來
題目
滿足 n200 < 5300 的最大整數 n 為何？
- (A) 10 ← 我選的
- (B) 11 ← 正確答案
- (C) 12
- (D) 13
我的答案：(A) 10方向對了，但沒有試到臨界值就收手
正確答案：(B) 1111² = 121 < 125，還過得了關
錯在哪裡
關鍵錯誤：降完次方之後「停手太早」。
把兩邊同時開 100 次方之後，條件變成 n² < 125。 這時你檢查了 10² = 100 < 125 → 可以，就直接選了 10。
但題目問的是「最大整數」，代表你必須一路往上試到失敗為止：
11² = 121，還是 < 125 → 11 也可以！
12² = 144 > 125 → 12 不行 → 停在 11。
「找到一個能用的」和「找到最大能用的」是兩件事。看到「最大／最小」，就一定要測臨界點。
把兩邊同時開 100 次方之後，條件變成 n² < 125。 這時你檢查了 10² = 100 < 125 → 可以，就直接選了 10。
但題目問的是「最大整數」，代表你必須一路往上試到失敗為止：
11² = 121，還是 < 125 → 11 也可以！
12² = 144 > 125 → 12 不行 → 停在 11。
「找到一個能用的」和「找到最大能用的」是兩件事。看到「最大／最小」，就一定要測臨界點。
正確解法
Step 1 先看指數 200 和 300 的最大公因數
200 = 2 × 100、300 = 3 × 100 → 最大公因數是 100。
所以兩邊都可以寫成「某個東西的 100 次方」：
n200 = (n²)100 5300 = (5³)100 = 125100
200 = 2 × 100、300 = 3 × 100 → 最大公因數是 100。
所以兩邊都可以寫成「某個東西的 100 次方」：
n200 = (n²)100 5300 = (5³)100 = 125100
Step 2 同時開 100 次方，把式子降下來
兩個正數的 100 次方比大小，跟本身比大小方向一致，所以：
(n²)100 < 125100 ⟺ n² < 125
這一步就是全題的關鍵 —— 把嚇人的 200、300 次方變成平方。
兩個正數的 100 次方比大小，跟本身比大小方向一致，所以：
(n²)100 < 125100 ⟺ n² < 125
這一步就是全題的關鍵 —— 把嚇人的 200、300 次方變成平方。
Step 3 從小到大試，試到過不了為止
| n | n² | 是否 < 125 |
|---|---|---|
| 10 | 100 | ✓ 可以 |
| 11 | 121 | ✓ 可以（還沒超過！） |
| 12 | 144 | ✗ 超過了 |
| 13 | 169 | ✗ 超過了 |
最後一個通過的是 n = 11，答案 (B)。
Step 4 驗算（回到原式的規模）
n² < 125 的分界點是 √125 ≈ 11.18，所以整數只能取到 11，和上表一致 ✓
n² < 125 的分界點是 √125 ≈ 11.18，所以整數只能取到 11，和上表一致 ✓
要記住的觀念
- 指數太大就找公因數降次方。200 與 300 的公因數 100 → 兩邊同時開 100 次方，變成 n² 與 5³ 比大小。
- 降次方時兩邊都要降。5300 要變成 (5³)100 = 125100，不是 5² 也不是 5。這是最常見的錯法。
- 「最大整數」＝一定要試到失敗。找到 10 可以，還要問「11 呢？12 呢？」直到出現第一個不行的為止。
- 不等式是嚴格小於，臨界值不能取。若題目改成 n² ≤ 125，答案仍是 11（因為 121 < 125 而 144 > 125）；但若是 n² ≤ 121 就剛好取到 11。
- 選項本身就是提示。選項給 10、11、12、13，代表答案就在這附近，把四個都代進去算一遍最保險（只要算四次平方）。
為什麼「同時開 100 次方」可以直接比？
因為 n 和 5 都是正數，而正數的 100 次方是「越大越大」的（單調遞增）。
也就是說 a < b 時必有 a100 < b100，反過來也成立，所以比大小的方向不會被破壞。
注意：如果底數可能是負數就不能這樣做，例如 (−3)² = 9 > 2² = 4，但 −3 < 2，方向就顛倒了。
類題自我檢測
1. 滿足 n150 < 3200 的最大整數 n 為何？
2. 滿足 2300 < n100 的最小整數 n 為何？
看解答
1. 150 與 200 的最大公因數是 50 → (n³)50 < (3⁴)50 → n³ < 81。
試：4³ = 64 < 81 ✓、5³ = 125 > 81 ✗ → 最大整數 n = 4。
2. 兩邊同開 100 次方 → 2³ < n → 8 < n。
注意是嚴格小於，n = 8 不行（會相等），所以最小整數 n = 9。
這題示範了另一個重點：問「最小」時，臨界值本身通常正好不能用。
我的原始作答
能想到要降次方、也選了鄰近的 10，代表方法其實是對的，純粹是最後一步沒有堅持試完。 下次寫「最大整數」的題目，就在旁邊列一張像上面那樣的小表格， 把選項一個個代進去打勾打叉，這種分數就不會再掉了。
複習標記
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還沒標記