科學記號：b 可以等於 1，永遠不能等於 10
題目
- (A) n = 8
- (B) 1 < b ≤ 10 ← 我選的
- (C) a 為 b 的 8 倍
- (D) a 為 b 的 107 倍 ← 正確答案
錯在哪裡
科學記號的規定是 1 ≤ b < 10 —— 可以等於 1，不可以等於 10。 你寫成 1 < b ≤ 10，剛好兩邊都放到錯的那一側。
為什麼 b 不能是 10？因為如果 b = 10，那 10 × 10n = 10n+1， 就應該改寫成 1 × 10n+1 了 —— 科學記號要求寫法唯一，所以 10 這個值必須讓給下一個位數。
（本題因為 a 嚴格大於 107，b 也不會剛好等於 1，正確範圍是 1 < b < 10。 你只錯在右邊那個等號，但一個等號就足以讓整個敘述變成錯的。）
正確解法
科學記號 a = b × 10n 中，10n 決定 a 的「規模」。
由 1 ≤ b < 10 可得 10n ≤ a < 10n+1 題目給的是 107 < a < 108，兩相對照 → n = 7。
所以 (A) n = 8 是錯的。
a = b × 107，把題目的不等式整個除以 107：
107 < b × 107 < 108 ⟹ 1 < b < 10 兩邊都是嚴格不等號，b 不能等於 1，也不能等於 10 → (B) 的 ≤ 10 是錯的。
由 a = b × 107 直接看出：a 是 b 的 107 倍（也就是 1000 萬倍）。
(C) 說「a 為 b 的 8 倍」—— 把「10n 的 n」當成倍數了，錯。
(D) 說「a 為 b 的 107 倍」—— 正確 ✓
四個選項一次看完
| 選項 | 敘述 | 判斷 | 理由 |
|---|---|---|---|
| (A) | n = 8 | ✗ | a < 108，還沒進到 8 位的規模，n = 7 |
| (B) | 1 < b ≤ 10 | ✗ | b 絕不可能等於 10，應為 1 < b < 10 |
| (C) | a 為 b 的 8 倍 | ✗ | 把指數 n 誤當成倍數 |
| (D) | a 為 b 的 107 倍 | ✓ | a = b × 107 |
代一個具體的數確認
取 a = 50000000（5 千萬），確實滿足 107 = 1000 萬 < a < 108 = 1 億。
b = 5 落在 1 與 10 之間 ✓；a ÷ b = 50000000 ÷ 5 = 10000000 = 107 ✓ → (D) 成立。
要記住的觀念
- 科學記號的鐵則：1 ≤ b < 10。左邊有等號、右邊沒有。背法：「可以是 1.0，永遠碰不到 10」。
- 10n ≤ a < 10n+1 ⟺ 科學記號的指數就是 n。看到題目用 10 的次方夾住一個數，n 立刻就知道了。
- n 是「幾個 10 相乘」，不是倍數。a 是 b 的 10n 倍，不是 n 倍。
- 不等號有沒有等號要看清楚。本題 a > 107 是嚴格的，所以 b > 1 也是嚴格的；如果題目寫 107 ≤ a，那 b 就可以等於 1。
- 不確定就代一個數。隨便選一個符合條件的 a（例如 5 × 107），四個選項馬上見真章 —— 這是選擇題最快的保命招。
延伸：位數和 n 的關係
若 a 是整數且以科學記號寫成 b × 10n，則 a 共有 (n + 1) 位數。
本題 n = 7 → a 是 8 位數（介於 10000001 與 99999999 之間），和 107 < a < 108 完全吻合。
小數也有類似規律：若 a = b × 10−n，則 a 從小數點後第 n 位開始出現第一個非零數字。
例如 3.6 × 10−4 = 0.00036，第一個非零數字在小數點後第 4 位。
類題自我檢測
1. 已知 10−3 < a < 10−2，且 a = b × 10n 為科學記號，求 n。
2. 某數 a 為 6 位數，以科學記號表示為 b × 10n，求 n 及 b 的範圍。
看解答
1. 對照 10n ≤ a < 10n+1 → n = −3。
（小陷阱：負指數越「小」數字反而越小，10−3 = 0.001 比 10−2 = 0.01 小，別被負號搞混。）
2. 6 位數代表 100000 ≤ a < 1000000，即 105 ≤ a < 106 → n = 5，
且 1 ≤ b < 10（這次 a 可以剛好是 100000，所以 b 可以等於 1）。
我的原始作答
這題的四個選項是「四個獨立的判斷」，只要對其中一個定義記得不夠精確就會中招。 建議把「1 ≤ b < 10」這一行抄在講義封面，並且每次寫科學記號的題目時， 先在旁邊寫下 n 是多少、b 的範圍是什麼，再回頭一個一個選項核對。
複習標記
看完這一頁順手標一下，紀錄會同步到總覽頁—— 標「有把握」的會被劃掉，標「有疑問」的會被標成琥珀色，可以用「只看有疑問的」單獨叫出來。 再按一次同一顆按鈕就取消。紀錄存在這台裝置的瀏覽器裡。