10 個連續整數：個位數字總和永遠是 45
題目
- (A) 1
- (B) 3
- (C) 5 ← 我選的
- (D) 7 ← 正確答案
錯在哪裡
你的草稿寫了 10x + y、10x + y + 1、…、10x + y + 9，方向完全正確， 但接下來把十位數字全部當成同一個 x，列出 (10y + 45) + (10x + 1) 這種混在一起的式子。
問題出在兩個地方：
① 個位數字不會一直加上去。從 y 開始數 10 個，個位會走完 0～9 一輪， 加到 9 之後跳回 0，所以個位數字總和固定是 0+1+…+9 = 45，跟 y 完全無關。
② 十位數字會在中途 +1。前面幾個是 x，跨過整十之後變成 x + 1，不能全部當 x。
只要抓住「淑麗聽到的一定是 45」，冠銘聽到的就是 92 − 45 = 47，題目瞬間變簡單。
正確解法
任意 10 個連續整數，它們的個位數字恰好是 0、1、2、…、9 各出現一次（只是起點不同、順序輪替）。
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 所以不管老師選哪 10 個數，淑麗聽到的一定是 45。這是本題唯一的鑰匙。
十位數字總和 = 92 − 45 = 47
設最小的數為 N = 10a + b（a 是十位、b 是個位），這 10 個數是 N ～ N + 9。
個位從 b 走到 9 之後進位，所以：
・前 (10 − b) 個數，十位數字都是 a
・後 b 個數，十位數字都是 a + 1
十位數字總和 = (10 − b)·a + b·(a + 1) = 10a − ab + ab + b = 10a + b = N 十位數字總和，剛好就等於最小的那個數本身！
既然十位數字總和 = 最小的數 = 47，
最小的數之個位數字就是 7 → 答案 (D)。
把 47～56 攤開來驗算
| 數 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 總和 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 個位 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 45 |
| 十位 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 47 |
45 + 47 = 92 ✓ 完全符合題意。而且 47～56 都在 10～99 的範圍內 ✓
要記住的觀念
- 10 個連續整數的個位數字總和恆為 45。這是可以直接背下來的結論，因為個位一定會走完 0～9 一輪。
- 個位數字會「歸零重來」，不是一直累加。寫 y, y+1, …, y+9 是錯的 —— 超過 9 就變回 0 了。
- 十位數字在跨十時會 +1，必須分成兩段算。前 (10−b) 個是 a、後 b 個是 a+1。
- 本題的漂亮結論：十位數字總和 = 最小的數。推導過程中 ab 剛好消掉，記住這個結果，同型題可以三行寫完。
- 兩個未知數卻只有一個條件時，先找「其實是定值」的那一個。本題的 45 就是把兩個未知數壓成一個的關鍵。
如果不記得結論，怎麼硬解？
設最小數 N = 10a + b，十位總和 = 47。
因為十位總和 = (10−b)a + b(a+1)，先猜 a：若 a = 4，式子 = 40 + b = 47 → b = 7 ✓（最小數 47，合理）。
若 a = 3 → 30 + b = 47 → b = 17，不是個位數 ✗；若 a = 5 → 50 + b = 47 → b = −3 ✗。
所以只有 a = 4、b = 7 可行。用「十位數字只能是 0～9 的整數」來刷掉不合理的情況，是這類題的通用手法。
類題自我檢測
1. 從 10～99 選 10 個連續整數，個位數字總和與十位數字總和相加為 106，求最小的數。
2. 若相加的結果為 75，這樣的 10 個數存在嗎？
看解答
1. 個位總和固定 45 → 十位總和 = 106 − 45 = 61 → 最小的數就是 61（那 10 個數是 61～70，都在範圍內 ✓）。
2. 十位總和 = 75 − 45 = 30 → 最小的數是 30，那 10 個數是 30～39。
檢查：十位全是 3，總和 = 30 ✓；個位 0～9 總和 45 ✓ → 存在，就是 30～39。
（這組剛好是「個位從 0 開始」的特例，沒有跨十進位，十位總和 = 10a = 30 也對得起來。）
我的原始作答
草稿上「10x + y, 10x + y + 1, …」的設法是標準做法，值得肯定， 問題出在後面把個位當成一路累加、十位當成永遠是 x。 下次寫這種題，先把 10 個數老老實實列出來一次（像上面那張表）， 個位跳回 0、十位跳成 5 的地方會自己跳出來，就不會用錯公式了。
複習標記
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