商是質數：先問「90 有哪些質因數」
題目
- (A) 2
- (B) 3 ← 正確答案
- (C) 4 ← 我選的
- (D) 5
錯在哪裡
如果 a = 90，商 = 90 ÷ 90 = 1 —— 但 1 不是質數，這組不能算。
其他常見的多算：a = 9 → 商 = 10（10 = 2 × 5，是合數，不是質數）； a = 1 → 商 = 90（也是合數）。
質數的定義：恰好有兩個正因數（1 和它自己）的正整數。
所以 1 不是質數（只有一個因數），2 是唯一的偶質數。 這兩件事幾乎每次考試都會被拿來設陷阱。
另外要注意：a 必須讓 90 ÷ a 整除（商要是質數，當然得是整數）， 所以 a 一定是 90 的因數，不能亂試。
正確解法
設商為 p，則 90 ÷ a = p ⟹ a = 90 ÷ p 因為 a 是正整數，所以 p 必須是 90 的因數；又因為題目要求 p 是質數， 所以 p 必須是 90 的「質因數」。
90 = 2 × 3² × 5 所以 90 的質因數只有 2、3、5 這三個。
| 商 p（必須是質數） | a = 90 ÷ p | 檢查 |
|---|---|---|
| 2 | 45 | 90 ÷ 45 = 2，2 是質數 ✓ |
| 3 | 30 | 90 ÷ 30 = 3，3 是質數 ✓ |
| 5 | 18 | 90 ÷ 18 = 5，5 是質數 ✓ |
共 3 個 → 答案 (B)。
把 90 的所有因數列出來當 a，逐一檢查商是不是質數：
| a | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 | 10 | 15 | 18 | 30 | 45 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 商 | 90 | 45 | 30 | 18 | 15 | 10 | 9 | 6 | 5 | 3 | 2 | 1 |
| 質數？ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ (1 不是質數) |
整張表只有 3 個打勾 ✓ 和 Step 3 完全一致。
要記住的觀念
- 1 不是質數，也不是合數。質數要「恰好兩個正因數」，1 只有一個因數，所以自成一類。這是最常被設陷阱的地方。
- 2 是唯一的偶質數。另一個常考點：看到「兩個質數的和是奇數」，其中一個一定是 2。
- 「商是質數」⟹ 商必須是原數的質因數。因為商要能整除，先做質因數分解就等於把答案找出來了。
- 質因數的「個數」不等於因數的個數。90 = 2 × 3² × 5 有 3 個相異質因數，但總共有 (1+1)(2+1)(1+1) = 12 個因數。本題問的是前者。
- 不確定就把因數全部列表檢查。90 只有 12 個因數，全部列出來也很快，而且保證不漏不多。
如果題目改成「商是合數」呢？
從上面的完整表格直接數：商是合數的有 a = 1(商 90)、2(45)、3(30)、5(18)、6(15)、9(10)、10(9)、15(6)
→ 8 個。
注意 a = 90 時商是 1，1 既不是質數也不是合數，所以兩邊都不算。
12 個因數 = 3 個(商為質數) + 8 個(商為合數) + 1 個(商為 1) ✓ 剛好對得上。
類題自我檢測
1. 若 a 是正整數，且 84 ÷ a 所得的商是一個質數，則 a 可能的值有幾個？
2. 若 a 是正整數，且 a ÷ 12 所得的商是一個小於 10 的質數，則 a 可能的值有幾個？
看解答
1. 84 = 2² × 3 × 7 → 相異質因數為 2、3、7 共 3 個 →
a = 42、28、12 → 3 個。
（注意 84 有 12 個因數，但質因數只有 3 個，別把兩者搞混。）
2. 這題方向反過來：a = 12 × p，p 是小於 10 的質數 → p = 2、3、5、7 →
a = 24、36、60、84 → 4 個。
小於 10 的質數是 2、3、5、7 共四個，不包含 1，也不包含 9（9 = 3×3 是合數）。
我的原始作答
旁邊寫了 90、18、45、5 這些數字，代表你已經找到 18、45 這幾組正確答案，
方法完全正確，只是最後多數了一個。
建議：把找到的每一組寫成「a → 商」的形式並在旁邊打勾，例如
「45 → 2 ✓」「30 → 3 ✓」「18 → 5 ✓」「90 → 1 ✗（1 不是質數）」。
逼自己寫出商是多少，就不會把不合格的算進去。
複習標記
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