三角形擺盆栽：間隔必須是三邊的公因數
題目
- (A) 21
- (B) 38
- (C) 41 ← 我選的
- (D) 44 ← 正確答案
錯在哪裡
這題有兩個一定要先做的動作：
① 單位統一成公分：720、840、1080（7 公尺 20 公分是 720，不是 7.2 也不是 72）。
② 因為三個頂點都要放盆栽，間隔 d 必須「同時整除三邊」，也就是 d 是三邊的公因數。
做完這兩步，就會發現盆栽數 = 周長 ÷ d = 2640 ÷ d，而 d 只能是 120 的因數， 算下來 盆栽數一定是 22 的倍數：22、44、66、88、…
四個選項裡只有 44 是 22 的倍數 —— 41 是質數，根本不可能。
「間隔相等 + 頂點都要放」＝ 最大公因數題型的標準暗號。
正確解法
7 公尺 20 公分 = 720 8 公尺 40 公分 = 840 10 公尺 80 公分 = 1080 周長 = 720 + 840 + 1080 = 2640 公分
因為三個頂點都要放盆栽，代表從一個頂點走到下一個頂點時，必須「剛好走完整數個間隔」。
所以 d 要同時整除 720、840、1080： d 是 (720, 840, 1080) 的公因數 先求最大公因數：
| 數 | 質因數分解 |
|---|---|
| 720 | 2⁴ × 3² × 5 |
| 840 | 2³ × 3 × 5 × 7 |
| 1080 | 2³ × 3³ × 5 |
| 最大公因數 | 2³ × 3 × 5 = 120 |
盆栽沿著封閉的三角形一圈擺放，每個間隔對應一個盆栽（首尾相接，不會多也不會少）： 盆栽數 = 周長 ÷ d = 2640 ÷ d 令 d = 120 ÷ k（k 是正整數），則 盆栽數 = 2640 ÷ (120 ÷ k) = 22k 盆栽數一定是 22 的倍數！
| 選項 | ÷ 22 | 可行？ |
|---|---|---|
| (A) 21 | 0.95… | ✗ |
| (B) 38 | 1.72… | ✗ |
| (C) 41 | 1.86… | ✗（41 是質數） |
| (D) 44 | 2 | ✓ |
驗算：44 盆真的排得出來嗎？
44 = 22 × 2 → k = 2 → 間隔 d = 120 ÷ 2 = 60 公分。
| 邊 | 長度 | ÷ 60 |
|---|---|---|
| 第一邊 | 720 | 12 段 |
| 第二邊 | 840 | 14 段 |
| 第三邊 | 1080 | 18 段 |
| 合計 | 44 段 = 44 盆 ✓ | |
三邊都整除、頂點都有盆栽 ✓ 完全符合題意。
要記住的觀念
- 「間隔相等 + 轉角處都要放」＝ 公因數問題。間隔必須整除每一段的長度。
- 封閉圖形（一圈）：盆栽數 = 周長 ÷ 間隔。不用 +1！只有「一條直線的兩端都要放」時才要 +1。這是最容易搞混的地方。
- 先統一單位。7 公尺 20 公分 = 720 公分。這種「公尺＋公分」的寫法是故意的，直接寫成 7.2 就會算錯。
- 求最大公因數用質因數分解：取共同質因數的最小次方。720、840、1080 的共同部分是 2³ × 3 × 5 = 120。
- 找出「答案必須具備的特徵」再看選項。本題只要知道「一定是 22 的倍數」，四個選項一秒就分出勝負，連 d 是多少都不必算。
為什麼一圈的盆栽數不用 +1？
想像沿著三角形走一圈：從 A 出發，每走 d 就放一盆，最後會回到 A。
回到 A 的那一盆就是出發時放的那一盆，不能重複算 —— 所以盆栽數剛好等於間隔數。
對照「一條直線的路種樹」：長 100、每 10 種一棵、兩端都要種 → 有 10 個間隔但要種 11 棵，這時才要 +1。
口訣：封閉圖形不加一，直線兩端才加一。
類題自我檢測
1. 一塊三角形空地的三邊長為 90 公分、1 公尺 50 公分、1 公尺 80 公分，
沿周圍等距擺盆栽且三頂點都要放，最少需要幾盆？
2. 承上，若總共放了 28 盆，則間隔是多少公分？
看解答
1. 統一單位：90、150、180。最大公因數 = 30。
盆栽最少 ⟺ 間隔最大 = 30 → 盆栽數 = (90 + 150 + 180) ÷ 30 = 420 ÷ 30 = 14 盆。
（檢查：3 + 5 + 6 = 14 ✓）
2. 盆栽數 = 420 ÷ d = 28 → d = 15 公分。
驗算 15 是否為公因數：90÷15 = 6、150÷15 = 10、180÷15 = 12 ✓ 而 6+10+12 = 28 ✓
注意這裡的盆栽數也都是 14 的倍數（14、28、42…），和本題「22 的倍數」是同一個道理。
我的原始作答
草稿上有把 720、840、1080 一直除以 2（720→360→180、840→420→210、1080→540→270），
這就是在做輾轉相除／找公因數，方向完全正確，只是沒有把它做完、也沒有連到「盆栽數」。
建議把流程固定成三步：
① 統一單位 → ② 求三邊的最大公因數（本題 120）→ ③ 盆栽數 = 周長 ÷ 間隔，並寫出通式。
寫到「盆栽數 = 22k」這一行，答案就自己跳出來了。
複習標記
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